Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的二次對稱點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)．

①若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線：的二次對稱點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________；

②若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線:的二次對稱點(diǎn)，則的值為_______；

③若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線的二次對稱點(diǎn)，則直線的表達(dá)式為__________；

（2）如圖2，的半徑為1.若上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直績:的二次對稱點(diǎn)，且點(diǎn)在射線上，的取值范圍是________；

（3）是軸上的動(dòng)點(diǎn)，的半徑為2，若上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸，直線：的二次對稱點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（4，-1）；②2；③y=-x+1；（2）；（3）.

【解析】

（1）數(shù)形結(jié)合方法，直接結(jié)合圖形求出即可；

（2）當(dāng)M（-1，0）時(shí)，可求得b的最小值為，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，可求得b的最大值為；

（3）確定t取最大值或最小值時(shí)，唯一對稱點(diǎn)的位置，反過來計(jì)算即可．

（1）如圖1，

①∵A（0，1）；

∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（0，-1），點(diǎn)A′（0，-1）關(guān)于直線l1：x=2的對稱點(diǎn)為B（4，-1），

故答案為：（4，-1），

②∵A（0，1），

∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（0，-1），點(diǎn)A′（0，-1）關(guān)于直線l2：y=2的對稱點(diǎn)為C（0，5），

故答案為：2，

③∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（0，-1），點(diǎn)A′（0，-1）與點(diǎn)D（2，1）關(guān)于直線l3對稱，連接A′D，

∴直線l3⊥A′D，且平分A′D，易求得A′D的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），易知：AD=AA′，
∴經(jīng)過（0，1），（1，0）兩點(diǎn)的直線即為直線l3，

∴y=-x+1；

故答案為：y=-x+1；

（2）如圖2，

當(dāng)M（-1，0）時(shí)，可求得b的最小值為，

當(dāng)點(diǎn)時(shí)，可求得b的最大值為，

∴，

故答案為：；

（3）∵E（0，t）為⊙E的圓心，半徑為2，過點(diǎn)E作EN′⊥l5交x軸于點(diǎn)N′，

設(shè)直線l5： 與x軸交點(diǎn)為M，則，當(dāng)t取最大值時(shí)，依題意有：

，

解得：

設(shè)⊙E與y軸交點(diǎn)中最上方點(diǎn)為P，過P作PN″⊥l5交x軸于點(diǎn)N″，當(dāng)t取最小值時(shí)有：

，

解得：t=1

∴．