Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，在邊上取一點(diǎn)，滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，以、為邊做矩形.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）用含的代數(shù)式表示線(xiàn)段的長(zhǎng);

（2）當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求的值;

（3）設(shè)矩形與重疊部分圖形的周長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式;

（4）作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).當(dāng)、這兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)矩形為正方形時(shí)，的值為；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ；（4）或.

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得CD=AC，易得∠ABD=2∠ABC=∠PQA，可得PQ∥DB，得△APQ∽△ADB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式變形即可得出結(jié)論；

當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC，由∠PQA=2∠B和三角形外角的性質(zhì)可得△QPB為等腰三角形，根據(jù)“三線(xiàn)合一”可得BE=BP=(7-t)，然后由△BQE∽△BAC列出比例式即可得出結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，過(guò)P作QG⊥AC，QH⊥BC，由（1）可得△AQP是等腰三角形，可得GP=t，根據(jù)矩形的判定得四邊形GQHC為矩形，得出QH=GC=3-t，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠QMH，進(jìn)而可得△QHM∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出QM，令QM=PQ即可求出t；當(dāng)P在BC上時(shí)，不能構(gòu)成正方形，綜上即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，易得∠CPK=∠KMN=∠B，利用三角函數(shù)可求得PK，MK的值，然后代入計(jì)算PQ+QM+MK+PK即可；

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，由（1）可得∠QPM=∠B，在Rt△QPM中，利用三角函數(shù)可求得QM，PM的長(zhǎng)，然后代入計(jì)算即可；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PQ，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PN，分點(diǎn)A′在矩形PQMN內(nèi)部、點(diǎn)C′不在矩形PQMN內(nèi)部和點(diǎn)A′不在矩形PQMN內(nèi)部、點(diǎn)C′在矩形PQMN內(nèi)部，即和兩種情況求出t的范圍；當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，顯然點(diǎn)A′和點(diǎn)C′都在矩形PQMN外部．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，即0＜t≤3時(shí)，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得CD=AC，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=5．

在△ABC和△DBC中，

，

∴△ABC≌△DBC（SAS），

∴AC=CD=3，AB=CD=5，∠ABC=∠DBC．

∵∠PQA=2∠ABC，

∴∠PQA=∠ABD，

∴PQ∥BD，

∴△APQ∽△ADB，

∴，

即，

得PQ=；

當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，即3＜t＜7時(shí)，

過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E，

∵∠PQA=∠B+∠QPB，∠PQA=2∠B，

∴∠QPB=∠B，

∴PQ=QB，

∴BE=PB= (7-t)，

∵∠C=90°，

∴QE∥AC，

∴，

即，

解得：QB=，

∴PQ=；

綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

（2）當(dāng)時(shí)，如圖①，

過(guò)點(diǎn)作QG⊥AC于點(diǎn)G，于點(diǎn).

由（1）可得AQ=PQ，

∴∠A=∠APQ，AG=GP=AP=t，

∴CG=AC-AG=3-t．

∵∠QGC=∠C=∠QHC=90°，

∴四邊形QGCH為矩形，

∴QH=CG=3-t．

∵∠C=∠PQM=90°，

∴∠APQ=∠QMH，

∴∠A=∠QMH，

∵∠QHM=∠C=90°，

∴△QHM∽△BCA，

∴，

即，

∴.

當(dāng)矩形為正方形時(shí)，

.

解得.

當(dāng)時(shí)，矩形不可能為正方形.

∴當(dāng)矩形為正方形時(shí)，的值為.

（3）當(dāng)時(shí)，如圖②，

由（1）可得∠CPK=∠KMN=∠B，

在Rt△PCK中，

PK===，

在Rt△KNM中，

MK==，

.

當(dāng)時(shí)，如圖③，

由（1）可得∠QPM=∠B，

在Rt△QPM中，

QM=PQtan∠QPM=，

PM===，

.

（4）當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，0＜t＜3，

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PQ于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PN于點(diǎn)E，如圖所示：

由（1）得∠APQ=∠PCE=∠BAC，

在Rt△ADP中，AD=APsin∠APQ=，

在Rt△PCE中，CE=CPcos∠PCE=．

當(dāng)點(diǎn)A′在矩形PQMN內(nèi)部、點(diǎn)C′不在矩形PQMN內(nèi)部時(shí)，

，

即，

解得：t≤，

故0＜t≤；

當(dāng)點(diǎn)A′不在矩形PQMN內(nèi)部、點(diǎn)C′在矩形PQMN內(nèi)部時(shí)，

，

即，

解得：t≥，

故≤t＜3．

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，顯然點(diǎn)A′和點(diǎn)C′都在矩形PQMN外部．

故或.