Question

【題目】拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)，點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線

①求，所滿足的數(shù)量關(guān)系式；

②當(dāng)OP=OA時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）①；②或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，將，點(diǎn)，代入函數(shù)解析式，求得，從而求得函數(shù)解析式及對(duì)稱軸，然后根據(jù)數(shù)軸上的對(duì)稱性求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）①由拋物線的對(duì)稱軸求得，求得，然后將點(diǎn)，點(diǎn)代入函數(shù)解析式求得p與a的數(shù)量關(guān)系；

②由OP=OA時(shí)，分情況討論當(dāng)P（0，1）或（0，-1），求得p的值，從而確定二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，然后求其交點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理求PN的長(zhǎng)度．

解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得

當(dāng)時(shí)，可得，解得：

∴此時(shí)拋物線解析式為：，拋物線對(duì)稱軸為

設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0） ，則此時(shí)，解得：

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

（2）①將點(diǎn)，點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得

有題意可知：，則

∴，解得

②當(dāng)OP=OA時(shí)，P（0，1）或（0，-1）

當(dāng)P（0，1）時(shí)，-p=1，即p=-1，則，解得

∴此時(shí)拋物線解析式為：

又∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)

∴一次函數(shù)解析式為：

由此，解得或

∴此時(shí)P（0,1）），N（5，-4）

∴PN=

當(dāng)P（0，-1）時(shí)，-p=-1，即p=1，則，解得

∴此時(shí)拋物線解析式為：

又∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)

∴一次函數(shù)解析式為：

由此，解得或

∴此時(shí)P（0,-1）），N（-1，0）

∴PN=

∴綜上所述，PN的長(zhǎng)度為或．