Question

【題目】已知，的半徑為1；直線經(jīng)過(guò)圓心，交于、兩點(diǎn)，直徑，點(diǎn)是直線上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上另一點(diǎn)，且.

(Ⅰ)如圖1，點(diǎn)在的內(nèi)部，求證：是的切線；

(Ⅱ)如圖2，點(diǎn)在的外部，且，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)OP=.

【解析】

(Ⅰ)連接ON，根據(jù)等邊對(duì)等角即可證得∠1=∠2，∠PNM=∠4，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可證得∠PNO=90°，即可得結(jié)論；(Ⅱ)連接ON，由∠3=30°可得∠1=60°，即可證明△AON是等邊三角形，可得∠5=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠3=∠4=30°，進(jìn)而可證明∠PNO=90°，利用∠3的余弦值求出OP的長(zhǎng)即可.

(Ⅰ)如圖，連接ON，

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，即.

又∵是半徑，點(diǎn)在上，

∴是的切線.

(Ⅱ)解：如圖，∵，

∴

∵ON=OA，

∴是等邊三角形.

∴.

∵，

∴.

∴∠OPN=60°，

∴.

∴.