已知直線l與⊙O交于不同的兩點E，F(xiàn)，CD是⊙O的直徑，CA⊥l，DB⊥l，垂足分別為A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，試問在線段AB上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與以點P，B，D為頂點的三角形相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．
分析：由題意可知直線l可能與CD相交，也可能不相交，所以應結合題意，分類討論．
（1）當l與直徑CD不相交時，（i）作OH⊥AB于H，可證其相似，（ii）當除E，F(xiàn)外還存在點P使△APC∽△BPD，可設AC=x，BD=y，則y-x=1，進而求解．
（2）當l與直徑CD相交時，其交點Q滿足條件，然后再計算除Q點外是否還存在點P，可假設其存在，然后再結合題意進行求解，再驗證假設是否成立即可．
解答：
解：（1）若l與直徑CD不相交，如圖所示，
（i）作OH⊥AB于H，易得AE=BF，此時△ACE∽△BED，△AFC∽△BDF，
則E，F(xiàn)為滿足的點，故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
（ii）若除E，F(xiàn)外還存在點P使△APC∽△BPD，設AC=x，BD=y，則y-x=1，
∵Rt△ACE∽Rt△BED，故
= ，得xy=6
于是x=2，y=3或x=-3，y=-2（舍去）
∵△APC∽△BPD，故
= ，即
= ，解得AP=
，
故存在第三個滿足條件的點P，且AP=
．
綜合（i），（ii），滿足條件的點有三個，AP的長分別為1，6，
．
（2）若l與直徑CD相交，且交點為Q，如圖
（i）由∠AQC=∠DQB，得Rt△ACQ∽Rt△BDQ，則點Q為滿足條件的點，
設AC=x，BD=y，則y-x=1，
又∠DEB=∠ECA，則Rt△ACE∽Rt△BED，
故
= ，得xy=8，
于是，x=
，y=
或x=
，y=
（舍去）
∵Rt△ACQ∽Rt△BDQ，∴
= ，解得AQ=
．
（ii）若除Q外，還存在點P，使△APC∽△BDP，則
= ，
整理得AP
2-7AP+8=0，解得AP=
．
綜合（i），（ii），滿足條件的點P有三個，AP的長分別為
，
，
．
所以，綜合（1）（2）可得，滿足條件的點共有6個．AP的長度為：
1，6，
，
，
，
．
點評：熟練掌握圓的性質及判定，能夠運用圓的性質求解一些實際問題，會對問題進行分類討論．
名校課堂系列答案
如圖，已知直線l1與l2交于一點P，l1的函數表達式是y=2x+3，l2的函數表達式是y=kx+b（k≠0）．點P的橫坐標是-1，且l2與y軸的交點A的縱坐標也是-1．
軸交于點C，與雙曲線
交于A（3，
）、B（-5，
）兩點.AD⊥
軸交于點E.
如圖，已知直線AB與CD交于點O，OE⊥AB，垂足為O，若∠DOE=3∠COE，∠BOC的度數