Question

（2006•南京）在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁關(guān)于直線l的對稱圖形是△A₂B₂C₁，那么△A₂B₂C₁的三個頂點的坐標分別為A₂

（4，0）

B₂

（5，0）

C₂

（5，2）

；
（2）如果點P的坐標是（-a，0），其中a＞0，點P關(guān)于y軸的對稱點是P₁，點P₁關(guān)于直線l的對稱點是P₂，那么PP₂的長為

6

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標特點是橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同可以得到△A₁B₁C₁各點坐標，又關(guān)于直線l的對稱圖形電的坐標特點是縱坐標相同，橫坐標之和等于3的二倍，由此求出△A₂B₂C₁的三個頂點的坐標；
（2）如圖，如果0＜a≤3，那么點P₁在線段OM上．PP₂=PP₁+P₁P₂=2OP₁+2P₁M=2（OP₁+P₁M）=2OM=6．如果a＞3，那么點P₁在點M的右邊．PP₂=PP₁-P₁P₂=2OP₁-2P₁M=2（OP₁-P₁M）=2OM=6．所以PP₂的長是6．

解答：
解：（1）△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標分別是A₂（4，0），B₂（5，0），C₂（5，2）；（3分）

（2）如果0＜a≤3，那么點P₁在線段OM上，PP₂=PP₁+P₁P₂=2OP₁+2P₁M=2（OP₁+P₁M）=2OM=6；（5分）
如果a＞3，那么點P₁在點M的右邊，PP₂=PP₁-P₁P₂=2OP₁-2P₁M=2（OP₁-P₁M）=2OM=6．
所以PP₂的長是6．（7分）

點評：動手操作既是數(shù)學活動的一種形式，也是考查學生對概念理解與操作技能掌握情況的一種有效方式．本題設置了軸對稱變化和點的坐標變化的有關(guān)問題，對于考查目標的實現(xiàn)具有很好的作用．題目的背景清晰、明快，設計自然、合理，尤其是第（2）小題設置的問題既具有一定的開放性又重點考查了分類的數(shù)學思想，使試題的考查有較高的效度．發(fā)揮了試題的整體效應：概念理解與操作技能掌握情況．本題一個考查學生“軸對稱”與坐標的相關(guān)知識的試題，學生可以根據(jù)自己的理解選擇自由發(fā)揮的空間，問題的解決為學生提供了自主探索的空間，考查了學生關(guān)于變換與坐標知識的綜合運用能力．其解決的過程體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)在的和諧美，體現(xiàn)了對學生“操作--發(fā)現(xiàn)--猜想”的能力的考查，注意了題目的可推廣性，由學生解答本題的情況可以推及學生具有這些特質(zhì)的情形．