【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,F(xiàn)在CD上,且AF垂直平分CD,F(xiàn)G平分∠AFD,交AD于G,連接GB,交AF于N,且FN=FD.

(1)求證:△GFN≌△GFD;
(2)如圖,連接ND,若BC=ND,∠ADC=75°,求證:AN=AB;

(3)如圖2,延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)E,過(guò)B作BK⊥AE于K,若∠BAF=2∠E,猜想,AB與KF之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

證明:∵FG平分∠AFD,

∴∠NFG=∠GFD,

在△GFN和△GFD中, ,

∴△GFN≌△GFD(SAS)


(2)

證明:連接AC,如圖1所示:

∵AF⊥CD,F(xiàn)N=FD,

∴△DFN為等腰直角三角形,

∴∠FDN=45°,

∵∠ADC=75°,

∴∠ADN=∠ADC﹣∠FDN=75°﹣45°=30°,

在Rt△AFD中,∠FAD=90°﹣75°=15°

∵AF垂直平分CD,

∴AC=AD,

∴∠ACD=∠ADC=75°,

∴∠CAD=30°,

∵AD∥BC,

∴∠BCA=∠CAD=30°,

∴∠ADN=∠BCA,

在△ADN和△ACB中, ,

∴△ADN≌△ACB(SAS),

∴AN=AB


(3)

解:AB與KF之間有何數(shù)量關(guān)系為:AB=2KF;理由如下:

取AB中點(diǎn)H,連接HF、HK,如圖2所示:

∵在Rt△AKB中,H為AB中點(diǎn),

∴HK= AB=AH,

∴∠HAK=∠HKA,

∵∠BAF=2∠E,

∴∠HKA=2∠E,

∵AD∥BE,

∴△AFD∽△EFC,

= =1,

∴AF=EF,

∵H為AB中點(diǎn),

∴HF為△ABE的中位線,

∴HF∥BE,

∴∠HFK=∠E,

∴∠HKA=2∠HFK,

∵∠HKA=∠HFK+∠FHK,

∴2∠HFK=∠HFK+∠FHK,

∴∠HFK=∠FHK,

∴HK=KF,

∵HK= AB,

即AB=2HK,

∴AB=2KF.


【解析】(1)由角平分線得出∠NFG=∠GFD,由SAS證明△GFN≌△GFD即可;(2)連接AC,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠FDN=45°,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AC=AD,證出∠CAD=30°,由SAS證明△ADN≌△ACB,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;(3)取AB中點(diǎn)H,連接HF、HK,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出HK= AB=AH,得出∠HAK=∠HKA,證明△AFD∽△EFC,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,證出AF=EF,證明HF為△ABE的中位線,由三角形中位線定理得出HF∥BE,得出∠HFK=∠E,由角的關(guān)系得出∠HFK=∠FHK,得出HK=KF,即可得出結(jié)論.

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