Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，

（1）求證：CF＝2AF；

（2）求tan∠CFD的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠CFD=

【解析】試題分析：(1)已知矩形ABCD中，根據矩形的性質可得AD∥BC，即可判定△AEF∽△CAB，根據相似三角形的性質可得AF：CF=AE：BC=1：2，即可得CF＝2AF；（2）過D作DH⊥AC于H，可得DH∥BE，即可得AF：FH=AE：ED=1：1所以AF=FH=HC設AF=，則AH=2 CH=，易證Rt△ADH∽Rt△DCH，求得 BF=，所以tan∠CFD=.

試題解析：

(1) ∵ABCD為矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∠D=90°,

∴△AEF∽△CBF，

∵E是AD邊的中點， ∴AF：CF=AE：BC=1：2

∴CF＝2AF；

(2) 過D作DH⊥AC于H，

∵BE⊥AC，∴DH∥BE

∴AF：FH=AE：ED=1：1

∴AF=FH=HC

設AF=，則AH=2 CH=

∵∠DAH=∠CDH=90°-∠ADH

易知：Rt△ADH∽Rt△DCH，∴ BF=

∴tan∠CFD=