Question

【題目】已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），且過(guò)點(diǎn)（﹣1， ），直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． （注：在解題過(guò)程中，你也可以閱讀后面的材料）
附：閱讀材料
任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．
即：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1 ， x2 ，
則：x1+x2=﹣ ，x1x2=
能靈活運(yùn)用這種關(guān)系，有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15兩根的和與積．
解：原方程變?yōu)椋簒2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根與系數(shù)有關(guān)系：x1+x2=﹣ ，x1x2=
∴原方程兩根之和=﹣ =3，兩根之積= =﹣15．

（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）對(duì)（1）中的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值范圍在﹣1＜x＜3時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出其函數(shù)值y的取值范圍；（不必說(shuō)明理由）
（3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在定點(diǎn)G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

因此二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=ax2+1．

∵拋物線y=ax2+1過(guò)點(diǎn)（﹣1， ），

∴ =a+1．

解得：a= ．

∴二次函數(shù)的解析式為：y= x2+1

（2）解：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y= ，

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

當(dāng)x=3時(shí)，y= ×32+1= ，

結(jié)合圖1可得：當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是1≤y＜

（3）①證明：過(guò)點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)G，連接AG，如圖2，

則點(diǎn)A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，

∴△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣x1，y1）．

∵點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線y=kx+2上，

∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣x1，kx1+2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，kx2+2）．

設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．

∵點(diǎn)A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直線BG上，

∴ ．

解得： ．

∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直線y=kx+2與拋物線y= x2+1的交點(diǎn)，

∴x1、x2是方程kx+2= x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得；x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

∴n= =﹣2+2=0．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，0）．

∴在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．

②解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OP，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OP，垂足為D，如圖2，

∵直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．

∴PG=2．

∴S△ABG=S△APG+S△BPG

= PGAC+ PGBD

= PG（AC+BD）

= ×2×（﹣x12）

=x2﹣x1

=

=

=

=4 ．

∴當(dāng)k=0時(shí)，S△ABG最小，最小值為4．

∴△GAB面積的最小值為4．

【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+1，由于點(diǎn)（﹣1， ）在二次函數(shù)圖象上，把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+1，即可求出a，從而求出二次函數(shù)的解析式．（2）先分別求出x=﹣1，x=0，x=3時(shí)y的值，然后結(jié)合圖象就可得到y(tǒng)的取值范圍．（3）過(guò)點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)G，連接AG，如圖2，則點(diǎn)A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由于點(diǎn)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在直線y=kx+2上，從而可以得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1 ， kx1+2）、A′的坐標(biāo)為（﹣x1 ， kx1+2）、B的坐標(biāo)為（x2 ， kx2+2）．設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．由于點(diǎn)A′（﹣x1 ， kx1+2）、B（x2 ， kx2+2）在直線BG上，可用含有k、x1、x2的代數(shù)式表示n．由于A、B是直線y=kx+2與拋物線y= x2+1的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=4k，x1x2=﹣4．從而求出n=0，即可證出：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由S△ABG=S△APG+S△BPG ， 可以得到S△ABG=x2﹣x1= =4 ，所以當(dāng)k=0時(shí)，S△ABG最小，最小值為4．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解根與系數(shù)的關(guān)系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商)，還要掌握確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．