【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

1)如圖,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PAPB,PCPD,∠APB=∠CPD,點EFGH分別為邊AB,BCCD,DA的中點,猜想中點四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;

2)若改變(1)中的條件,使∠APB=∠CPD90°,其他條件不變,直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明).

【答案】(1)四邊形EFGH是菱形,理由見解析;(2)四邊形EFGH是正方形,理由見解析

【解析】

1)連接AC、BD,由PAPB,PCPD,∠APB=∠CPD易證△APC≌△BPDSAS),

故可得到ACBD,再利用三角形的中位線可得EFAC、FGBDEHBD,GHAC,易證EFFGGHEH,故四邊形EFGH是菱形;

(2)設(shè)AC、BD交點為O,ACPD交于點M,ACEH交于點N

利用△APC≌△BPD,所以∠ACP=∠BDP,再根據(jù)∠CPD90°故∠PDC+PCD90°

易得∠ODC+OCD90°,即∠COD90°,即ACBD,再利用中位線的性質(zhì)∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC90°,即可得到四邊形EFGH是正方形.

1)四邊形EFGH是菱形,

如圖,連接AC、BD,

∵∠APB=∠CPD,

∴∠APB+APD=∠CPD+APD,即∠APC=∠BPD,

在△APC和△BPD中,

∴△APC≌△BPDSAS),

ACBD,

∵點E、F、G分別為AB、BC、CD的中點,

EFAC、FGBD,EHBD,GHAC

EFFGGHEH,

∴四邊形EFGH是菱形;

2)四邊形EFGH是正方形,

設(shè)AC、BD交點為O,ACPD交于點M,ACEH交于點N

∵△APC≌△BPD,

∴∠ACP=∠BDP,

∵∠CPD90°

∴∠PDC+PCD90°

∴∠ODC+OCD90°

∴∠COD90°

ACBD

EHBDACHG,

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC90°,

∵四邊形EFGH是菱形,

∴四邊形EFGH是正方形.

練習(xí)冊系列答案
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