Question

某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：

[操作發(fā)現(xiàn)]

在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖4­2­47(1)，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結(jié)論：①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB＝∠DMB.其中正確的是____________(填序號即可)．

[數(shù)學(xué)思考]

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖4­2­47(2)，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程．

[類比探索]

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖4­2­47(3)，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．

答：____________________.

    

(1)　　　  　　 (2)　　  　　　 (3)

Answer 1

解：[操作發(fā)現(xiàn)]①②③④

[數(shù)學(xué)思考]MD＝ME，MD⊥ME.證明如下：

圖18

①MD＝ME.

如圖18，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中點，

∴MF∥AC，MF＝AC.

又∵EG是等腰直角三角形AEC斜邊上的中線，

∴EG⊥AC，且EG＝AC.

∴MF＝EG.

同理可證DF＝MG.

∵MF∥AC，

∴∠MFA＋∠BAC＝180°.

同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°.

∴∠MFA＝∠MGA.

又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°.

同理可得∠DFA＝90°.

∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＋∠EGA，

即∠DFM＝∠MGE.又MF＝EG，DF＝MG，

∴△DFM≌△MGE(SAS)．∴MD＝ME.

②MD⊥ME.

如圖18，設(shè)MD與AB交于點H，

∵AB∥MG，∴∠DHA＝∠DMG.

又∵∠DHA＝∠FDM＋∠DFH，

即∠DHA＝∠FDM＋90°.

∵∠DMG＝∠DME＋∠GME，∴∠DME＝90°.

即MD⊥ME.

[類比探究]等腰直角三角形