Question

（1）如圖①，⊙O的弦CE垂直于直徑AB，垂足為點G，點D在

CB

上，作直線CD，ED，與直線AB分別交于點F，M，連接OC，求證：OC²=OM•OF；
（2）把（1）中的“點D在

CB

上”改為“點D在

AE

上”，其余條件不變（如圖②），試問：（1）中的結論是否成立？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖①，連接CM，OE，
∵AB⊥CE于G，∴GC=GE．
∴MC=ME，∴∠CMA=∠EMA．
∠AOC=

1

2

∠COE，∴∠AOC=∠CDE．
又∠OCM=∠AOC-∠CMA，
∠F=∠CDE-∠DMF，
∠DMF=∠EMA，
∴∠OCM=∠F．
又∠COM=∠FOC，∴△OMC∽△OCF．
∴

OC

OF

=

OM

OC

．
∴OC²=OM•OF．

（2）成立．理由如下：
如圖②，連接MC，OE，
∵AB⊥CE于G，
∴GC=GE，

BC

=

BE

=

1

2

CBE

．
∴∠CDE=∠COB，MC=ME．
∴∠EMG=∠CMO．
∵∠FCO=∠COB-∠OFC，∠EMG=∠CDE-∠DFM，∠DFM=∠OFC，
∴∠EMG=∠FCO．
∴∠FCO=∠CMO．
∴△OCF∽△OMC．
∴

OC

OM

=

OF

OC

，
∴OC²=OM•OF．