Question

如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以D為圓心似長為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動點，射線AC交⊙O于點E，BC=a，AC=b．
（1）求證：AE=b+a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是關(guān)于x的方程：x²+ax=b²+ab的一個根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接BE，由△OAB為等邊三角形，可得∠AOB=60°，又由圓周角定理，可求得∠E的度數(shù)，又由AB為⊙D的直徑，可求得CE的長，繼而求得AE=b+a；
（2）首先過點C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） ²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；
（3）由x²+ax=b²+ab，可得（x-b）（x+b+a）=0，則可求得x的值，繼而可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）連接BE，
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AEB=30°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∵BC=a，
∴BE=2a，CE=a，
∵AC=b，
∴AE=b+a；         

（2）過點C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，
∴a²+b²=1，
∵S_△ABC=AC•BC=AB•CH，
∴AC•BC=AB•CH，
∴（a+b） ²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，
∴a+b≤，
故a+b的最大值為，

（3）∵x²+ax=b²+ab，
∴x²-b²+ax-ab=0，
∴（x+b）（x-b）+a（x-b）=0，
∴（x-b）（x+b+a）=0，
∴x=b或x=-（b+a），
當a=m=b時，m=b=AC＜AB=1，
∴0＜m＜1，
當m=-（b+a）時，由（1）知AE=-m，
又∵AB＜AE≤2AO=2，
∴1＜-m≤2，
∴-2≤m＜-1，
∴m的取值范圍為0＜m＜1或-2≤m＜-1．
點評：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．