Question

已知正整數x、y滿足條件：

2

x

+

1

y

=a，（其中，a是正整數，且x＜y）求x和y．

Answer 1

分析：由x，y，a都是正整數，x≥1，y≥2，得到

2

x

+

1

y

≤2+

1

2

，即a≤2

1

2

，得到a=1或a=2；討論：當a=1時，

2

x

+

1

y

=1，分別對x=1或x=2或x≥3進行分析都不合題意，得到a≠1．當a=2時，

2

x

+

1

y

=2，然后對x=1或1＜x＜3或x≥3進行分析得到x=2，y=1．

解答：解：∵x，y，a都是正整數，x≥1，y≥2，
∴

2

x

+

1

y

≤2+

1

2

，即a≤2

1

2

，
∴a=1或a=2；
當a=1時，

2

x

+

1

y

=1，若x=1，則

1

y

=-1，與y是正整數矛盾，所以x≠1；
若x=2，則

1

y

=0，與y是正整數矛盾，所以x≠2；
若x≥3，則

2

x

+

1

y

≤

2

3

+

1

4

＜1，與

2

x

+

1

y

=1矛盾，所以x＜3；
綜上所述，所以a≠1．
當a=2時，

2

x

+

1

y

=2，若x=1，則

1

y

=0，與y是正整數矛盾，所以x≠1；
若x=2，則

1

y

=1，解得y=1，符合；
若x≥3，則

2

x

+

1

y

≤

2

3

+

1

4

＜1，與

2

x

+

1

y

=2矛盾，所以x＜3；
∴1＜x＜3，
∴x=2，y=1，與x＜y矛盾．
故本題無解．

點評：本題考查了方程的正整數解的問題：利用分類討論和不等式的性質以及正整數的性質探求方程的正整數解．