Question

【題目】如圖，將圓心角為120°的扇形AOB繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得到扇形AO′B′，使得點(diǎn)O′ 恰在上．

（1）求作點(diǎn)O′；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明過程)

（2）連接AB、AB'、AO′，求證：AO′平分∠BAB′．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1如圖所示：連接，作的線段垂直平分線，則直線與的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)（方法不唯一）；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而證得是等邊三角形，由此推出旋轉(zhuǎn)角為，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可知∠OAB＝∠OBA＝30°，繼而由角的和差計(jì)算得，，

最后即可求出結(jié)論．

解：解法一：如圖點(diǎn)是所求作的點(diǎn)

(或在上任取不同的點(diǎn)，連接，作的中垂線，則直線與的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)，圖略)

解法二：如圖點(diǎn)是所求作的點(diǎn)

解法三：如圖點(diǎn)是所求作的點(diǎn)

證明：連接

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

又

，即是等邊三角形．

，即旋轉(zhuǎn)角為

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

，

，

即平分