【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上任一點(diǎn).
求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
若點(diǎn)在直線的上方,過(guò)分別作和軸的垂線,交直線于不同的兩點(diǎn)(在的左側(cè)),求周長(zhǎng)的最大值;
是否存在點(diǎn)使得是以為直角邊的直角三角形?如果存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】;最大值為;存在,或或
【解析】
(1)如圖1,運(yùn)用待定系數(shù)法求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,先求直線BC的解析式為y=x﹣2,設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)(﹣m2+3m+8,﹣m2+m+2),求出EG的長(zhǎng),證明△EFG∽△DOB,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比表示△EFG周長(zhǎng)=(﹣m2+2m+8)= [﹣(m﹣1)2+9],根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)確定其最值;
(3)分二種情況討論:分別以D、B兩個(gè)頂點(diǎn)為直角時(shí),列方程組,求出點(diǎn)E的坐標(biāo),根據(jù)兩垂直直線的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)倒數(shù)得出結(jié)論.
解:(1)如圖1,把A(﹣1,0),B(4,0),C(﹣2,﹣3)代入y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:,
則二次函數(shù)的解析式y=﹣x2+x+2;
(2)如圖2,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(4,0),C(﹣2,﹣3)代入y=kx+b中得:
,
解得:,
∴直線BC的解析式為y=x﹣2,
設(shè)E(m,﹣m2+m+2),﹣2<m<4,
∵EG⊥y軸,
∴E和G的縱坐標(biāo)相等,
∵點(diǎn)G在直線BC上,
當(dāng)y=﹣m2+m+2時(shí),
﹣m2+m+2=x﹣2,
解得:x=﹣m2+3m+8,
則G(﹣m2+3m+8,﹣m2+m+2),
∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8,
∵EG∥AB,
∴∠EGF=∠OBD,
∵∠EFG=∠BOD=90°,
∴△EFG∽△DOB,
∴,
∵D(0,﹣2),B(4,0),
∴OB=4,OD=2,
∴BD==2,
∴=,
∴△EFG的周長(zhǎng)=(﹣m2+2m+8),
= [﹣(m﹣1)2+9],
∴當(dāng)m=1時(shí),△EFG周長(zhǎng)最大,最大值是;
(3)存在點(diǎn)E,
分兩種情況:
①若∠EBD=90°,則BD⊥BE,如圖3,
設(shè)BD的解析式為:y=kx+b,
把B(4,0)、D(0,﹣2)代入得:
,
解得:,
∴BD的解析式為:y=x﹣2,
∴設(shè)直線EB的解析式為:y=﹣2x+b,
把B(4,0)代入得:b=8,
∴直線EB的解析式為:y=﹣2x+8,
∴,
﹣x2+x+2=﹣2x+8,
解得:x1=3,x2=4(舍),
當(dāng)x=3時(shí),y=﹣2×3+8=2,
∴E(3,2),
②當(dāng)BD⊥DE時(shí),即∠EDB=90°,如圖4,
同理得:DE的解析式為:y=﹣2x+b,
把D(0,﹣2)代入得:b=﹣2,
∴DE的解析式為:y=﹣2x﹣2,
∴,
解得:或,
∴E(8,﹣18)或(﹣1,0),
綜上所述,點(diǎn)E(3,2)或(8,﹣18)或(﹣1,0),
故存在滿足條件的點(diǎn)E,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2)或(﹣1,0)或(8,﹣18).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于題目:“如圖1,平面上,正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為12 、寬為6 的矩形,它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過(guò)移轉(zhuǎn)(即平移或旋轉(zhuǎn))的方式,自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放,求正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù).”甲、乙、丙作了自認(rèn)為邊長(zhǎng)最小的正方形,先求出該邊長(zhǎng),再取最小整數(shù).
甲:如圖2,思路是當(dāng)為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過(guò)去;結(jié)果取n=14.
乙:如圖3,思路是當(dāng)為矩形外接圓直徑長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過(guò)去;結(jié)果取n=14.
丙:如圖4,思路是當(dāng)為矩形的長(zhǎng)與寬之和的倍時(shí)就可移轉(zhuǎn)過(guò)去;結(jié)果取n=13.
甲、乙、丙的思路和結(jié)果均正確的是___________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某縣建檔立卡貧困戶對(duì)精準(zhǔn)扶貧政策落實(shí)的滿意度,現(xiàn)從全縣建檔立卡貧困戶中隨機(jī)抽取了部分貧困戶進(jìn)行了調(diào)查(把調(diào)查結(jié)果分為四個(gè)等級(jí):A級(jí):非常滿意;B級(jí):滿意;C級(jí):基本滿意;D級(jí):不滿意),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解決下列問(wèn)題:
(1)本次抽樣調(diào)查測(cè)試的建檔立卡貧困戶的總戶數(shù)______.
(2)圖1中,∠α的度數(shù)是______,并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)某縣建檔立卡貧困戶有10000戶,如果全部參加這次滿意度調(diào)查,請(qǐng)估計(jì)非常滿意的人數(shù)約為多少戶?
(4)調(diào)查人員想從5戶建檔立卡貧困戶(分別記為)中隨機(jī)選取兩戶,調(diào)查他們對(duì)精準(zhǔn)扶貧政策落實(shí)的滿意度,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出選中貧困戶的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn):
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC, ∠BCD的度數(shù)是 ;線段BD,AC之間的數(shù)量關(guān)系是 .
類(lèi)比探究:
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC,請(qǐng)問(wèn)(1)中的結(jié)論還成立嗎?;
拓展延伸:
(3)如圖3,在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,∠BDC=90°,若點(diǎn)P滿足PB=PC,∠BPC=90°,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AP的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,,,過(guò)點(diǎn)作邊的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),點(diǎn)是垂足,連接、,交于點(diǎn).則下列結(jié)論:①四邊形是正方形;②;③;④,正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年是新中國(guó)成立70周年,在“慶祝新中國(guó)成立70年華誕”主題教育活動(dòng)月,深圳某學(xué)校組織開(kāi)展了豐富多彩的活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了“A:詩(shī)歌朗誦展演,B:歌舞表演,C:書(shū)畫(huà)作品展覽,D:手工作品展覽”四個(gè)專項(xiàng)活動(dòng),每個(gè)學(xué)生限選一個(gè)專項(xiàng)活動(dòng)參與.為了解活動(dòng)開(kāi)展情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
(1)本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“B”所在扇形的圓心角為 度.
(4)小濤和小華各自隨機(jī)參與其中的一個(gè)專項(xiàng)活動(dòng),請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方式求他們恰好選中同一個(gè)專項(xiàng)活動(dòng)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將圓心角為120°的扇形AOB繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度后,得到扇形AO′B′,使得點(diǎn)O′ 恰在上.
(1)求作點(diǎn)O′;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法和證明過(guò)程)
(2)連接AB、AB'、AO′,求證:AO′平分∠BAB′.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△AEF沿EF所在直線翻折,得到△A'EF,連接A'C,A'D,則當(dāng)△A'DC是以A'D為腰的等腰三角形時(shí),FD的長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著時(shí)代的不斷發(fā)展,新穎的網(wǎng)絡(luò)購(gòu)進(jìn)逐漸融入到人們的生活中,“拼一拼”電商平臺(tái)上提供了一種拼團(tuán)購(gòu)買(mǎi)方式,當(dāng)拼團(tuán)(單數(shù)不超過(guò)15單)成功后商家將會(huì)讓利一定的額度給予顧客實(shí)惠.現(xiàn)在某商家準(zhǔn)備出手一種每件成本25元/件的新產(chǎn)品,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),單價(jià)y(單位:元)、日銷(xiāo)售量m(單位:件)與拼單數(shù)x(單位:?jiǎn)危┲g存在著如表的數(shù)量關(guān)系:
拼單數(shù)x(單位:?jiǎn)危?/span> | 2 | 4 | 8 | 12 |
單價(jià)y(單位:元) | 34.50 | 34.00 | 33.00 | 32.00 |
日銷(xiāo)售量m(單位:件) | 68 | 76 | 92 | 108 |
請(qǐng)根據(jù)以上提供的信息解決下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出單價(jià)y和日銷(xiāo)售量m分別與拼單數(shù)x之間的一次函數(shù)關(guān)系式;
(2)拼單數(shù)設(shè)置為多少單時(shí)的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少?
(3)在實(shí)際銷(xiāo)售過(guò)程中,廠家希望能有更多的商品出售,因此對(duì)電商每銷(xiāo)售一件商品廠家就給予電商補(bǔ)助a元(a≤2),那么電商在獲得補(bǔ)助之日后日銷(xiāo)售利潤(rùn)能夠隨單數(shù)x的增大而增大,那么a的取值范圍是什么?
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