【題目】如圖,一條拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點,為拋物線的頂點,點軸上.

1)求拋物線解析式;

2)若,求點的坐標(biāo);

3)過點作直線交拋物線于,是否存在以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

4)坐標(biāo)平面內(nèi)一點到點的距離為1個單位,求的最小值.

【答案】1;(2或(60);(3Q2,3)或;(4

【解析】

解:(1)把A,B,C三點坐標(biāo)代入求出解析式即可;

2)先求出直線DB的解析式,再分①當(dāng)點P在點B左側(cè)時,當(dāng)點P在點B右側(cè)時,分別求出P點坐標(biāo)即可;

3)分當(dāng)四邊形APQC為平行四邊形時,當(dāng)四邊形AQPC為平行四邊形時兩種情況求出Q點坐標(biāo);

4)先證△MBE∽△OBM得到,則當(dāng)點D、M、E在同一直線上時,最短,求出最小值即可.

解:(1)∵拋物線與x軸交于A-10),B30)兩點,

∴設(shè)此拋物線的解析式為y=ax+1)(x-3),

將點C03)代入,得a=-1,

,

2)∵,

∴頂點D1,4),

設(shè)直線DB解析式為ykx+b,

D14),B3,0)代入得,,

解得:k=﹣2,b6,

∴直線DB解析式為y=﹣2x+6,

①如圖11,當(dāng)點P在點B左側(cè)時,

∵∠PCB=∠CBD

CPBD,

設(shè)直線CP解析式為y=﹣2x+m,

C0,3)代入,得m3,

∴直線CP解析式y=﹣2x+3,

當(dāng)y0時,,

②如圖12,當(dāng)點P在點B右側(cè)時,

作點P關(guān)于直線BC的對稱點N,延長CNx軸于點P',此時∠P'CB=∠CBD,

C03),B3,0),

OCOB,

∴△OBC為等腰直角三角形,

∴∠CPB45°

∴∠NBC45°,

∴△PBN為等腰直角三角形,

,

C0,3),代入直線CN解析式ynx+t,

得:,

解得,,t3

∴直線CN解析式為,

當(dāng)y0時,x6

P'6,0);

綜上所述,點P坐標(biāo)為或(6,0);

3)①如圖21,當(dāng)四邊形APQC為平行四邊形時,

CQAP,CQAP,

yC3,

yQ3,

令﹣x2+2x+33,

解得:x10,x22

Q23),

②如圖22,當(dāng)四邊形AQPC為平行四邊形時,

ACPQ,ACPQ,

yCyAyPyQ3,

yP0

yQ=﹣3,

令﹣x2+2x+3=﹣3,

解得,,,

,

綜上所述,點Q的坐標(biāo)為Q2,3)或;

4)∵點M到點B的距離為1個單位,

∴點M在以點B為圓心,半徑為1的圓上運動,如圖3

x軸上作點,連接BMEM、DE

,

BM1,

∵∠MBE=∠OBM,

∴△MBE∽△OBM,

,

,

∴當(dāng)點D、ME在同一直線上時,最短,

D1,4),

的最小值為

練習(xí)冊系列答案
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1)如圖2,已知∠BOD6ODB,∠OBF140°

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