Question

【題目】如圖1，拋物線y= －x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，CO＝BO，AB=14．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2, 點(diǎn)M、N在第一象限內(nèi)拋物線上，M在N點(diǎn)下方，連CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°， 設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式(n是自變量)；

（3）如圖3, 在(2)條件下，連AN交CO于E，過M作MF⊥AB于F，連BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB=2β， 求N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m與n的函數(shù)關(guān)系式為；（3）的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)題目給出條件用一個(gè)未知數(shù)舍出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，代入解析式求解即可；

（2）根據(jù)題目給出特殊條件∠OCN+∠OCM＝180°，得出直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)代入即可；

（3）根據(jù)二倍角關(guān)系，在大角中構(gòu)造相似三角形，大膽利用一個(gè)未知數(shù)求出線段長度，利用三角形的角平分線性質(zhì)求解.

解：（1）設(shè)，則；

將代入y= －x2+bx+c得，

；

解得：；

∴拋物線的解析式：；

（2）∵∠OCN+∠OCM＝180°；

可得直線與直線關(guān)于對(duì)稱；

設(shè)；

又；

可得；

設(shè)；

作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；

則；

又在上；

；

化簡得；

∴m與n的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）；

；

在y正半軸上取一點(diǎn)H使得；

則有；

即；

解得；

設(shè)直線AN的解析式為：

由可得；

；

又；

；

又；

；

在中，；

由勾股定理可得；

；

；

又∵∠AFE＝2∠FMB=2β；

平分；

則有；

即；

解得(舍),(舍),(舍),；

；

的坐標(biāo)為.