【題目】如圖,拋物線的對稱軸是直線,與軸交于兩點,與軸交于點,點的坐標為,點為拋物線上的一個動點,過點軸于點,交直線于點.

(1)求拋物線解析式;

(2)若點在第一象限內,當時,求四邊形的面積;

(3)在(2)的條件下,若點為直線上一點,點為平面直角坐標系內一點,是否存在這樣的點和點,使得以點為頂點的四邊形是菱形?若存在上,直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補充圖形,以便探究】

【答案】(1y=x2x﹣2;2;(3)y=x2x﹣2;2;3N(,﹣)或(4.6,)或(5﹣,)或(5+),以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形.

【解析】

試題分析:(1)由拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,于是列方程即可得到結論;

(2)根據(jù)函數(shù)解析式得到B(4,0),C(0,﹣2),求得BC的解析式為y=x﹣2,設D(m,0),得到E(m,m﹣2),P(m,m2m﹣2),根據(jù)已知條件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得D(5,0),P(5,),E(5,),根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論;

(3)設M(n,n﹣2),以BD為對角線,根據(jù)菱形的性質得到MN垂直平分BD,求得n=4+,于是得到N(,﹣);以BD為邊,根據(jù)菱形的性質得到MNBD,MN=BD=MD=1,過M作MHx軸于H,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論.

試題解析:(1)拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,,解得:,拋物線解析式為y=x2x﹣2;

(2)令y=x2x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=4,當x=0時,y=﹣2,B(4,0),C(0,﹣2),設BC的解析式為y=kx+b,則,解得:,y=x﹣2,

設D(m,0),

DPy軸,E(m,m﹣2),P(m,m2m﹣2),

OD=4PE,m=4(m2m﹣2﹣m+2),

m=5,m=0(舍去),D(5,0),P(5,),E(5,),

四邊形POBE的面積=SOPD﹣SEBD=×5××1×=;

(3)存在,設M(n,n﹣2),

以BD為對角線,如圖1,

四邊形BNDM是菱形,MN垂直平分BD,

n=4+M(,),

M,N關于x軸對稱,N(,﹣);

以BD為邊,如圖2,

四邊形BNDM是菱形,MNBD,MN=BD=MD=1,

過M作MHx軸于H,

MH2+DH2=DM2,即(n﹣2)2+(n﹣5)2=12,

n1=4(不合題意),n2=5.6,N(4.6,),

同理(n﹣2)2+(4﹣n)2=1,

n1=4+(不合題意,舍去),n2=4﹣

N(5﹣,),

以BD為邊,如圖3,

過M作MHx軸于H,

MH2+BH2=BM2,即(n﹣2)2+(n﹣4)2=12,

n1=4+,n2=4﹣(不合題意,舍去),

N(5+),

綜上所述,當N(,﹣)或(4.6,)或(5﹣)或(5+,),以點B,D,M,N為頂點的四邊形是菱形.

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