Question

20、已知A為⊙O上一點(diǎn)，B為⊙A與OA的交點(diǎn)，⊙A與⊙O的半徑分別為r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如圖，過點(diǎn)B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點(diǎn)．求證：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如圖，若⊙A與⊙O的交點(diǎn)為E、F，C是弧EBF上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙A的切線與⊙O交于P、Q兩點(diǎn)，試問AP•AQ=2Rr是否成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AM•AN=2Rr，即證AM•AM=AD•AB，可通過證△ABM∽△AMD得出；
（Ⅱ）欲證AP•AQ=2Rr，即證AP•AQ=AD•AC，可通過證△AQC∽△APD得出．

解答：解：（Ⅰ）延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接MD，
∵過點(diǎn)B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點(diǎn)
∴OA⊥MN，AM=AN
∵AD是⊙O的直徑
∴∠AMD=∠ABM=90°
∵∠MAD=∠MAD
∴△ABM∽△AMD
∴AM：AB=AD：AM
∴AM：AB=AD：AN
∴AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接PD，
∵過點(diǎn)C作⊙A的切線與⊙O交于P、Q兩點(diǎn)，
∴CA⊥PQ
∵AD是⊙O的直徑
∴∠APD=∠ACQ=90°
∵∠Q=∠D
∴△AQC∽△APD
∴AC：AQ=AD：AP
∴AP•AQ=2Rr．

點(diǎn)評(píng)：考查圓與圓的位置關(guān)系中乘積的形式，乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．