【題目】我們知道求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),可以聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式組成方程組,方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).如:求直線y=2x+3與y=﹣x+6的交點(diǎn)坐標(biāo),我們可以聯(lián)立兩個(gè)解析式得到方程組,解得,所以直線y=2x+3與y=﹣x+6的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5).請(qǐng)利用上述知識(shí)解決下列問題:
(1)已知直線y=kx﹣2和拋物線y=x2﹣2x+3,
①當(dāng)k=4時(shí),求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo);
②當(dāng)k為何值時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)?
(2)已知點(diǎn)A(a,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),B(0,4),以AB為邊在AB右側(cè)做正方形ABCD,當(dāng)正方形ABCD的邊與反比例函數(shù)y=的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),試求a的取值范圍.
【答案】(1)①(1,2),(5,18);②k=﹣2;(2)a的取值范圍是a>2或﹣16<a<﹣4
【解析】
(1)①由題意得:,解得,,即可求解;
②利用△=0,即可求解;
(2)分a>0、a<0兩種情況,探討正方形的邊與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)的情況,進(jìn)而求解.
解:(1)①由題意得:,解得,,
∴直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),(5,18);
②聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)并整理得:x2﹣(k+2)x+5=0,
△=(﹣k﹣2)2﹣4×5=0,
解得:k=﹣2;
(2)①當(dāng)a>0時(shí),如圖1,
點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(a,0)、(0,4),
由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得,直線AB的表達(dá)式為:y=﹣x+4,
當(dāng)線段AB與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),
聯(lián)立AB表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式得:﹣x+4=,
整理得:4x2﹣4ax+2a=0,
△=(﹣4a)2﹣16×2a=0,解得:a=2,
故當(dāng)a>2時(shí),正方形ABCD與反比例函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn);
②當(dāng)a<0時(shí),如圖2,
(Ⅰ)當(dāng)邊AD與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),
過點(diǎn)D作ED⊥x軸于點(diǎn)E,
∵∠BAO+∠DAE=90°,∠DAE+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAO,
∵AB=AD,∠AOB=∠DEA=90°,
∴△AOB≌△DEA(AAS),
∴ED=AO=﹣a,AE=OB=4,
故點(diǎn)D(a+4,a),
由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)可得,直線AD的表達(dá)式為:y=a(x﹣a),
聯(lián)立AD與反比例函數(shù)表達(dá)式并整理得:ax2﹣a2x﹣16=0,
△=(﹣a2)2﹣4a×(16)=0,解得:a=﹣4(不合題意值已舍去);
(Ⅱ)當(dāng)邊BC與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),
同理可得:a=﹣16,
所以當(dāng)正方形ABCD的邊與反比例函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為:﹣16<a<﹣4;
綜上所述,a的取值范圍是a>2或﹣16<a<﹣4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的圖象,經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,0),C(0,3)三點(diǎn),過點(diǎn)C,D(﹣3,0)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為E.
(1)請(qǐng)你直接寫出:
①拋物線的解析式 ;
②直線CD的解析式 ;
③點(diǎn)E的坐標(biāo)( , );
(2)如圖1,若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接PC,PE,則當(dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí),可使得∠CPE=45°,請(qǐng)你求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),作QH⊥x軸于H,連接QA,QB,當(dāng)QB平分∠AQH時(shí),請(qǐng)你直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)為邊上點(diǎn),沿折疊,點(diǎn)在矩形內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,若點(diǎn)到矩形兩條較長邊的距離之比為,則的長為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)一次函數(shù)y=ax+b(a,b是常數(shù),且a≠0)的圖象A(1,3)和B(-1,-1)兩點(diǎn).
(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)①若點(diǎn)( ,2)在(1)中的函數(shù)圖象上,求m的值.
②若(1)中的函數(shù)圖象和y=-2x+n的函數(shù)圖象的交點(diǎn)在第一象限,求n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=,AD=2cm,AB=4cm,BC=6cm,點(diǎn)E是CD中點(diǎn),過點(diǎn)B畫射線BF交CD于點(diǎn)F,交AD延長線于點(diǎn)G,且∠GBE=∠CBE,則線段DG的長為__cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長的情況,隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,將閱讀時(shí)長分為四類:2小時(shí)以內(nèi),2~4小時(shí)(含2小時(shí)),4~6小時(shí)(含4小時(shí)),6小時(shí)及以上,并繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)本次調(diào)查共隨機(jī)抽取了 名中學(xué)生,其中課外閱讀時(shí)長“2~4小時(shí)”的有 人;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,課外閱讀時(shí)長“4~6小時(shí)”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為 °;
(3)若該地區(qū)共有20000名中學(xué)生,估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長不少于4小時(shí)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A1處,則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為( 。
A. (﹣) B. (﹣) C. (﹣) D. (﹣)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn),點(diǎn) 的坐標(biāo)分別是,與軸交于點(diǎn).點(diǎn)在第一、二象限的拋物線上,過點(diǎn)作軸的平行線分別交軸和直線于點(diǎn)、.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,線段的長度為.
⑴求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
⑵當(dāng)點(diǎn)在第一象限的拋物線上時(shí),求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
⑶在⑵的條件下,當(dāng)時(shí),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與兩坐標(biāo)軸分別交于M、N兩點(diǎn),過點(diǎn)O作,過作,得陰影;再過作,過作,得陰影;……如此進(jìn)行下去,則得到的所有陰影三角形的面積之和為_________.
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