Question

如圖，⊙O的半徑為，正三角形ABC的頂點B的坐標為（2，0），頂點A在⊙O

上運動．

（1）當點A在x軸上時，求點C的坐標；

（2）點A在運動過程中，是否存在直線AB與⊙O相切的位置關系，若存在，請求出點C的坐標；

（3）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值與最小值；

Answer 1

（1）解：（1）當點A的坐標為（，0）時，點C的坐標為（）；

當點A的坐標為（-，0）時，點C的坐標為（）；

（2），連接OA, 當A點在x軸上方時，∵ 直線AB與⊙O相切, ∴ OA⊥AB ，∴∠OMB=90°，OB=2，OA=  ∴sin∠OBA=, ∴∠OBA=60°，∴∠CBx=60°，∴點C的坐標

當A點在x軸下方時，∵∠OBA=60°，∴C點在x軸上，∴點C的坐標為（）

（3）過點A作AE⊥OB于點E

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，

在Rt△BAE中，AB²= AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x

∴S== =

其中≤x≤，

當x=時，S的最大值為，

當x=時，S的最小值為．