Question

【題目】如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），點(diǎn)E在OB上，∠AEO=30°，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（﹣4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△PAE是等腰三角形時(shí)，求t的值；

（3）以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）；（2）當(dāng)△PAE是等腰三角形時(shí)，t的值為（3﹣2）s或（3）s或（4+）s；（3），當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，t的值為（4﹣）秒或4秒或秒．

【解析】

（1）由A，B的坐標(biāo)及∠AEO=30°可得OE=，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）分三種情形①當(dāng)EA=EP時(shí)，EP1=EA=EP2=6，求出t．②當(dāng)PA=PE時(shí)，設(shè)P3E=P3E=x，在Rt△AOP3中，32+（-x）2=x2，x=2，求出t即可．③當(dāng)AE=AP時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，不符合題意．

（3）本小題分三種情況討論：①當(dāng)PA⊥AE時(shí)，⊙P與AE相切；②當(dāng)PA⊥AC時(shí)，⊙P與AC相切；③當(dāng)PB⊥BC時(shí)，⊙P與BC相切；分別求出各種情況的t的值．

（1）∵A（0，3），B（6，0），

∴OA=3，OB=6，

∵∠AEO=30°，

∴OE=OA=3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）如圖1中，

當(dāng)EA=EP時(shí)，EP1=EA=EP2=6，此時(shí)t=3﹣2或3+10，

當(dāng)PA=PE時(shí)，設(shè)P3E=P3E=x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2=x2，

∴x=2，此時(shí)t=4+

當(dāng)AE=AP時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，不符合題意．

綜上所述，當(dāng)△PAE是等腰三角形時(shí)，t的值為（3﹣2）s或（3）s或（4+）s．

（3）由題意知，若⊙P與四邊形AEBC的邊相切，有以下三種情況：

①如圖2中，當(dāng)PA⊥AE時(shí)，⊙P與AE相切，

∵∠AEO=30°，AO=3，

∴∠APO=60°，

∴OP=，

∴QP=QO﹣PO=4﹣，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)Q（﹣4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，

∴t=4﹣（秒）．

②如圖3中，當(dāng)PA⊥AC時(shí)，⊙P與AC相切，

∵QO=4，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（﹣4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，

∴t=4（秒），

③如圖4中，當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，

由題意，PA2=PB2=（10﹣t）2，PO2=（t﹣4）2．

于是（10﹣t）2=（t﹣4）2+32．

解得t=（秒），

綜上所述，當(dāng)⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，t的值為（4﹣）秒或4秒或秒．