Question

如圖1，△ABC和△BCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AC與BD交于點E，點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CA向點A運動．過點P作PQ∥CD，交BD于Q點，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)點P的運動時間為x（秒）．
（1）CE=______；當PQ=時，x=______；
（2）當點P在線段CE上運動時，設(shè)線段PQ的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當點P在線段CE上運動時，設(shè)正方形PQMN與△ECD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當x為何值時，S有最大值？
（4）當0≤x≤5時，直接寫出AC的中點在正方形PQMN內(nèi)部時x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB∥CD，可以得到=，即可求得CE的長度，進而依據(jù)PQ∥CD，得到=求得EP的長，進而得到CP的長度，求得x的值；
（2）根據(jù)PQ∥CD，得到△EQP∽△EDC，在根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)△EQP∽△EDC，利用x表示出PN的長，則函數(shù)解析式即可求得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最值；
（4）顯然，當P在CE上時，不合題意．則P一定在AE上，根據(jù)AC的中點O到PQ的距離一定小于正方形的邊長，即可求得x的范圍．
解答：解：（1）在直角△ABC中，AC==5，
∵∠ABC=∠DCB=90°
∴AB∥CD
∴==
∴CE=，
∵PQ∥CD
∴===，
∴PE=CE=
∴x=CP=EC-EP=，
當點P在EA上時，也可能出現(xiàn)PQ=2.5，此時x=；

（2）∵PQ∥CD，
∴△EQP∽△EDC．
∴=
∴=
∴y=-x+5；

（3）設(shè)PN與CD的交點為K，由△CKP∽△ABC得，
應(yīng)分兩種情況討論：①0≤x≤時，S=-x²+4x，
當x=時，S有最大值為； 
②當時，，
對應(yīng)圖象在對稱軸左側(cè)，此時S隨x的增大而減小，當時，S有最大值．
綜上所述，當x=時，S有最大值為； 

（4）顯然，當P在CE上時，不合題意．當P在AE上時，PQ=-5，
設(shè)AC中點為O，O到PQ的距離為OT，則OT=-2，
由PQ＞OT即-5＞-2，得x＞．
所以＜x≤5為所求．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．