Question

【題目】如圖1，拋物線：與：相交于點(diǎn)O、C，與分別交x軸于點(diǎn)B、A，且B為線段AO的中點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）若OC⊥AC，求△OAC的面積；

（3）拋物線C2的對(duì)稱軸為l，頂點(diǎn)為M，在（2）的條件下：

①點(diǎn)P為拋物線C2對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖2，點(diǎn)E在拋物線C2上點(diǎn)O與點(diǎn)M之間運(yùn)動(dòng)，四邊形OBCE的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②E（，），．

【解析】

試題分析：（1）由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用B為OA的中點(diǎn)可得到a和b之間的關(guān)系式；

（2）由拋物線解析式可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，可證得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于a的方程，可求得OA和CD的長(zhǎng)，可求得△OAC的面積；

（3）①連接OC與l的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，可求得OC的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

②設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出△EOB的面積，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N，可先求得BC的解析式，則可表示出EN的長(zhǎng)，進(jìn)一步可表示出△EBC的面積，則可表示出四邊形OBCE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）在y=x2+ax中，當(dāng)y=0時(shí)，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∵B為OA的中點(diǎn)，∴b=﹣2a，∴；

（2）聯(lián)立兩拋物線解析式可得：，消去y整理可得，解得，，當(dāng)時(shí)，，∴C（，），過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1，∴D（，0），∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴，∴CD2=ADOD，即，∴a1=0（舍去），（舍去），，∴OA=-2a=，CD==1，∴；

（3）①拋物線，∴其對(duì)稱軸，點(diǎn)A關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)為O（0，0），C（ ，1），則P為直線OC與l2的交點(diǎn)，設(shè)OC的解析式為y=kx，∴1=k，得k=，∴OC的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴P（，）；

②設(shè)E（m，）（），則，而B（，0），C（ ，1），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由，解得：k= ，b=-2，∴直線BC的解析式為，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N，如圖2，則，即x=

∴EN=

∴

∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC

，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴E（，），．