Question

8．如圖，菱形ABCD中，∠B=100°，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF，則∠CDF等于60°．

Answer 1

分析 連接BF，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四條邊都相等可得BC=DC，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠ABC，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=BF，根據(jù)等邊對等角求出∠ABF=∠BAC，從而求出∠CBF，再利用“邊角邊”證明△BCF和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CDF=∠CBF．

解答 解：如圖，連接BF，
在菱形ABCD中，∵∠B=100°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCF=∠DCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°，
故答案為：60．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．