Question

13．已知△ABC的兩邊AB、AC （AB≤AC）的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的兩個實數根，第三邊長為5．
（1）當k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（2）當k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據根與系數的關系，用含k的代數式表示出AB，、AC的和與積，利用AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，由于第三邊的長BC=5，得到關于k的方程，求出k的值；
（2）用含k的代數式表示出AB、AC，當AB=5時，求出△ABC的周長；當AC=5時，求出△ABC的周長．

解答 解：（1）∵AB、AC （AB≤AC）的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的兩個實數根，
∴AB+AC=2k+1，AB•AC=k²+k
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC
=[-（2k+1）]²-2（k²+k）
=4k²+4k+1-2k²-2k
=2k²+2k+1
若△ABC是以BC=5為斜邊的直角三角形，
∴AB²+AC²=5²
即2k²+2k+1=25
∴k²+k-12=0
∴k₁=3，k₂=-4（不合題意，舍去）
即當k=3時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
（2）因為x²-（2k+1）x+k²+k=0，
即（x-k-1）（x-k）=0
∴x₁=k+1，x₂=k
若k=5，所以k+1=6，此時l_△ABC=5+5+6=16，
若k+1=5，所以k=4，此時l_△ABC=5+5+4=14．

點評 本題主要考查了根與系數的關系、勾股定理、一元二次方程及等腰三角形的相關知識．解決本題的關鍵是應用完全平方公式的變形求出AB²+AC²．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系為：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．