Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜邊AC的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，連接BE，經過C、D、E三點作⊙O，
（1）求證：CD是⊙O的直徑；
（2）若BE是⊙O的切線，求∠ACB的度數；
（3）當AB=，BC=6時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AC的垂直平分線是DE，
∴∠CED=90°，
∴CD是⊙O的直徑；

（2）解：連接OE，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∵若BE是⊙O的切線，
∴BE⊥OE，
∠BED+∠DEO=∠DEO+∠OEC=90°，
∴∠BED=∠OEC，
∵BE是Rt△ABC斜邊中線，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C=∠OEC，
在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO=180°，
∴∠C=30°．

（3）解：∵AB=2，BC=6，
∴tanC=，∠C=30°，AC=2AB=4，
∴EC=2，
∵cos∠C=，
∴cos30°=，
∴CD=4，
∴OC=CD=2，
∵∠C=∠CEO=30°，
∴∠COE=120°，
∴扇形OEC的面積為=π，
作OF⊥EC，垂足是F，
∵∠C=30°，
∴OF=OC=1，
∴△OCE的面積為×2×1=，
即陰影部分的面積為π-．
分析：（1）根據垂直定義得出∠DEC，根據圓周角定理求出即可；
（2）根據圓的切線求出∠BED=∠OEC=∠C，根據直角三角形斜邊性質求出BE=CE，求出∠C=∠EBC，根據三角形內角和定理求出∠C即可；
（3）求出AC，CE，根據解直角三角形求出CD，得出圓的半徑，求出∠EOC，根據扇形的面積求出扇形的面積，求出△OEC的面積，相減即可．
點評：本題考查了直角三角形斜邊中線性質，三角形的內角和定理，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，切線性質等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，難度偏大．