Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3．

（1）在圖①中，P是BC上一點(diǎn)，EF垂直平分AP，分別交AD、BC邊于點(diǎn)E、F，求證：四邊形AFPE是菱形；

（2）在圖②中利用直尺和圓規(guī)作出面積最大的菱形，使得菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形ABCD的邊上，并直接標(biāo)出菱形的邊長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和EF垂直平分AP推出AF＝PF＝AE＝PE即可判斷；

（2）以矩形的一條對(duì)角線(xiàn)和這條對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)作菱形的對(duì)角線(xiàn)，此時(shí)的菱形即為矩形ABCD內(nèi)面積最大的菱形．

（1）證明：如圖①

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵EF垂直平分AP，

∴AF＝PF，AE＝PE，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝AF，

∴AF＝PF＝AE＝PE，

∴四邊形AFPE是菱形；

（2）如圖②，以矩形的一條對(duì)角線(xiàn)和這條對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)作菱形的對(duì)角線(xiàn)，連接各個(gè)點(diǎn)，所得的菱形即為矩形ABCD內(nèi)面積最大的菱形；

此時(shí)設(shè)菱形邊長(zhǎng)為x，

則可得12+（3-x）2=x2，

解得x=，

所以菱形的邊長(zhǎng)為．