Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝(x－2)2＋m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A(1，0)及點(diǎn)B.

(1)求m的值與一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝－1，y＝x－1；（2）存在；P(5，8).

【解析】

（1）先將點(diǎn)A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（a，a2-4a+3），根據(jù)三角形ABP面積為三角形ABC面積，由兩三角形都以AB為底邊，得到C到直線AB的距離為P到直線AB距離相等，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意P的坐標(biāo)．

(1)由題意，得解得

∴.當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，3)．將點(diǎn)A(1，0)，B(4，3)代入，得

解得

∴

(2)存在．設(shè)CP∥AB交拋物線于點(diǎn)P.

∵可設(shè)直線CP的解析式為.把(0，3)代入，得

聯(lián)立方程，解得

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，8)