Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點.

（1）求點，，的坐標(biāo)；

（2）將繞的中點旋轉(zhuǎn)，得到.

①求點的坐標(biāo)；

②判斷的形狀，并說明理由.

（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點，使與相似，若存在，請寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①；②是直角三角形；（3），，，

【解析】

（1）直接利用y=0，x=0分別得出A，B，C的坐標(biāo)；

（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合A，B，C的坐標(biāo)得出D點坐標(biāo)；

②利用勾股定理的逆定理判斷的形狀即可；

（3）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長進而得出答案．

解：（1）令，則，

解得：，，

∴，.

令，則，∴；

（2）①過作軸于點，

∵繞點旋轉(zhuǎn)得到，

∴，，

在和中

，

∴，

∴，.

∵，，，

∴，，，，

∴，

∵點在第四象限，

∴；

②是直角三角形，

在中，

，

在中

，

，

∴，

∴是直角三角形；

（3）存在

∵，∴，

∵，∴，

作出拋物線的對稱軸，

∵M是AB的中點，，，

∴M(,0)，

∴點M在對稱軸上.

∵點在對稱軸上，

∴設(shè)，

當(dāng)時，

則，∴，

，∴，

∴，.

當(dāng)時，

則，∴，

，∴，

∴，，

∴，，，.