Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠ABC＝∠CAD.

（1）若∠ABC＝20°，則∠OCA的度數(shù)為    ；
（2）判斷直線(xiàn)AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）70°；（2）相切；（3）

試題分析：（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理可求得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（2）延長(zhǎng)AO與⊙O相交于點(diǎn)E，連接EC．先根據(jù)圓周角定理求得∠ECA＝90°，再結(jié)合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可證得結(jié)論；    
（3）設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G．根據(jù)垂徑定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，設(shè)OA＝x，根據(jù)勾股定理即可列方程求解．
（1）連接OA

∵∠ABC＝20°
∴∠AOC＝40°
∵OA=OC
∴∠OCA＝70°； 
（2）延長(zhǎng)AO與⊙O相交于點(diǎn)E，連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ECA＝90°，
∴∠EAC＋∠AEC＝90°．
又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，
∴∠EAC＋∠CAD＝90°．
即OA⊥AD，而點(diǎn)A在⊙O上，
∴直線(xiàn)AD與⊙O相切；    
（3）設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G．
∵OD⊥AB，
∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，
在Rt△ACG中，可得GC＝3．  
在Rt△OGA中，設(shè)OA＝x，
由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²  
解得x＝，即⊙O的半徑為．
點(diǎn)評(píng)：圓的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.