【題目】小明同學(xué)在研究如何在△ABC內(nèi)做一個(gè)面積最大的正方形時(shí),想到了可以利用位似知識(shí)解決這個(gè)問題,他的做法是:(如圖1)先在△ABC內(nèi)作一個(gè)小正方形DEFG,使得頂點(diǎn)D落在邊AB上,頂點(diǎn)E、F落在邊BC上,然后連接BG并延長(zhǎng)交AC邊于點(diǎn)H,作HK⊥BC,HI∥BC,再作IJ⊥BC于J,則正方形HIJK就是所作的面積最大的正方形.
(1)若△ABC中,AB=4,∠ABC=60°,∠ACB=45°,請(qǐng)求出小明所作的面積最大的正方形的邊長(zhǎng).
(2)拓展運(yùn)用:
如圖2,已知∠BAC,在角的內(nèi)部有一點(diǎn)P,請(qǐng)畫一個(gè)⊙M,使得⊙M經(jīng)過點(diǎn)P,且與AB、AC都相切.(注:并簡(jiǎn)要說明畫法)
【答案】(1)小明所作的面積最大的正方形的邊長(zhǎng)為;(2)如圖2所示,見解析.
【解析】
(1)如圖1中,作AM⊥BC于M,交IH于N,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,由IH∥BC,得,據(jù)此列出方程即可解決問題.
(2)作∠BAC的平分線AQ,在AQ上取一點(diǎn)O,作⊙O和AB、AC相切,連接AP交⊙O于E、F,然后利用位似知識(shí),找到圓心M即可解決問題.
(1)如圖1中,作AM⊥BC于M,交IH于N,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x.
在Rt△ABM中,∵∠AMB=90°,∠B=60°,AB=4,
∴BM=2,AM=,
∵∠C=∠MAC=45°,
∴AM=MC=,
∴BC=2+
∵IH∥BC,
∴,
∴,
解得:x=,
∴小明所作的面積最大的正方形的邊長(zhǎng)為;
(2)如圖2中,
①作∠BAC的平分線AQ,
②在AQ上取一點(diǎn)O,作⊙O和AB、AC相切,
③連接AP交⊙O于E、F.
④作PM1∥OE交AQ于M1,
⑤以M1為圓心PM1為半徑作⊙M1,
⊙M1即為所求;
同法,作PM2∥OF,交AQ于M2,
⊙M2即為所求.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線.交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:BE=EC
(2)填空:①若∠B=30°,AC=2,則DB= ;
②當(dāng)∠B= 度時(shí),以O,D,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先閱讀材料,然后按照要求答題。
閱讀材料:為了解方程,我們可以將視為一個(gè)整體,然后設(shè),,則原方程可化為:
①
解得:
當(dāng)時(shí),,
∴,
當(dāng)時(shí),,
∴,
∴原方程的解為:,
解答問題:
(1)上述解題過程,在由原方程得到方程①的過程中,利用____________法達(dá)到了解方程的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;
(2)請(qǐng)利用以上知識(shí)解決問題:若,求的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形OABC中,OA=8,OC=4,OA、OC分別在x軸與y軸上,D為OA上一點(diǎn),且CD=AD.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在(2)中的拋物線上位于x軸上方的部分,是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積等于梯形DCBE的面積?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)如果k是符合條件的最大整數(shù),且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個(gè)相同的根,求此時(shí)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,且過點(diǎn)(0,1)和(﹣1,0),下列結(jié)論:①ab<0,②0<b<1,③0<a+b+c<2,④當(dāng)x>﹣1時(shí),y>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司經(jīng)銷某品牌運(yùn)動(dòng)鞋,年銷售量為10萬雙,每雙鞋按250元銷售,可獲利25﹪設(shè)每雙鞋的成本價(jià)為a元.
(1)試求a的值;
(2)為了擴(kuò)大銷售量,公司決定拿出一定量的資金做廣告,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若每年投入廣告費(fèi)為(萬元)時(shí),產(chǎn)品的年銷售量將是原來年銷售量的倍,且與之間的關(guān)系滿足.請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息,求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下求年利潤(rùn)S(萬元)與廣告費(fèi)(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并請(qǐng)回答廣告費(fèi)(萬元)在什么范圍內(nèi),公司獲得的年利潤(rùn)S(萬元)隨廣告費(fèi)的增大而增多?(注:年利潤(rùn)S=年銷售總額-成本費(fèi)-廣告費(fèi))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤4元的價(jià)格出售,每天可售出100斤,通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元,每天可多售出20斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價(jià)銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元,則每天的銷售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在x軸的上方,直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點(diǎn),則∠OAB大小的變化趨勢(shì)為( )
A.逐漸變小B.逐漸變大C.時(shí)大時(shí)小D.保持不變
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