如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)A的直線+m與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求過A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．

【答案】分析：（1）（2）由圖可作AF⊥x軸于F，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)和的拋物線解析式；
（3）再作作PG⊥x軸于G，將四邊形OAPE的面積S用x來表示，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．
解答：解：（1）作AF⊥x軸于F，
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=
∴點(diǎn)A（1，）（1分）
代入直線解析式，
得，
∴m=
∴
當(dāng)y=0時，
得x=4，∴點(diǎn)E（4，0）（3分）

（2）設(shè)過A、O、E三點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c
∵拋物線過原點(diǎn)
∴c=0
，
∴
∴拋物線的解析式為（6分）

（3）作PG⊥x軸于G，設(shè)P（x，y）
S四邊形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
=（8分）
=
當(dāng)時，S最大=．（10分）
點(diǎn)評：此題考查知識點(diǎn)多，但題難度不大，需作輔多條輔助線，在直角三角形中解題，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)A的直線y=-
3 
3
x+m與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求過A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為4+2
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上．將△精英家教網(wǎng)OAB折疊，使點(diǎn)A與OB邊上的點(diǎn)P重合，折痕與OA、AB的交點(diǎn)分別是E、F．如果PE∥x軸，
（1）求點(diǎn)P、E的坐標(biāo)；
（2）如果拋物線y=-
1
2
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)P、E，求拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當(dāng)A′E∥x軸時，求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)A′E∥x軸，且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A′和E時，求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動，但不與點(diǎn)O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？精英家教網(wǎng)若能，請求出此時點(diǎn)A′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸的正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在OB邊上，記為A′，折痕為EF．
（1）當(dāng)A′E∥x軸時，求點(diǎn)A'的坐標(biāo)和直線A′F所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在OB上是否存在點(diǎn)A′，使四邊形AFA′E是菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)A′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動但不與點(diǎn)O、B重合，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點(diǎn)A′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸正方向上，將△OAB 折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當(dāng)A′E∥x軸時，求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)A′E∥x軸，且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A′和E時，求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)．

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