Question

15．直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)出發(fā)，同時到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)P沿路線O→B→A運(yùn)動．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t秒，△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t相應(yīng)的取值范圍；
（3）當(dāng)S=$\frac{48}{5}$時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（4）△ABO與△OPQ在運(yùn)動過程中能否相似，若存在，求出對應(yīng)的時間t的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)镺A=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時間是8秒，點(diǎn)P的速度是2，從而可求出，
當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動（或0≤t≤3）時，OQ=t，OP=2t，S=t²，當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動（或3＜t≤8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得PD=$\frac{48-6t}{5}$，利用S=$\frac{1}{2}$OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=$\frac{48}{5}$，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結(jié)合簡單的計(jì)算即可寫出M的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，由已知條件得到$\frac{OP}{OQ}≠\frac{OA}{OB}$，得到△OAB與△OPQ不相似；當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，①當(dāng)∠PQO=90°時，即PQ⊥OA，②當(dāng)∠OPQ=90°時，即PO⊥PQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0），B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10．
∵點(diǎn)Q由O到A的時間是$\frac{8}{1}$=8（秒），
∴點(diǎn)P的速度是$\frac{6+10}{8}$=2（單位長度/秒）．
當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動（或0＜t≤3）時，
OQ=t，OP=2t，S=t²．
當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動（或3＜t＜8）時，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，
由$\frac{PD}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，得PD=$\frac{48-6t}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•PD=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t．

（3）當(dāng)S=$\frac{48}{5}$時，∵$\frac{48}{5}$$＞\frac{1}{2}$×3×6，∴點(diǎn)P在AB上，
當(dāng)S=$\frac{48}{5}$時，-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t=$\frac{48}{5}$，
∴t=4，
∴PD=$\frac{48-6×4}{5}$=$\frac{24}{5}$，AP=16-2×4=8
AD=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴OD=8-$\frac{32}{5}$=$\frac{8}{5}$
∴P（$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$），
M₁（$\frac{28}{5}$，$\frac{24}{5}$），M₂（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），M₃（$\frac{12}{5}$，-$\frac{24}{5}$）；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，
∵$\frac{OP}{OQ}$=2，$\frac{OA}{OB}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{OP}{OQ}≠\frac{OA}{OB}$，
∴△OAB與△OPQ不相似；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，
①當(dāng)∠PQO=90°時，即PQ⊥OA，
∴△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{16-2t}{10}=\frac{8-t}{8}$，
解得：t=8（不合題意），
②當(dāng)∠OPQ=90°時，即PO⊥PQ，
∴△OPQ∽△AOB，
∴∠POQ=∠BAO，
∴OP=AP=16-2t，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{AB}$，即$\frac{16-2t}{8}=\frac{t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$，
∴△ABO與△OPQ在運(yùn)動過程中相似t=$\frac{40}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．