Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．

（1）試判斷線段BD與CD的大小關(guān)系；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）若△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°時，判斷四邊形AFBD的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）BD=CD；（2）矩形；（3）菱形

試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FAE=∠CDE，再結(jié)合∠AEF=∠DEC，AE=DE，即可證得△AEF≌△DEF，從而可以證得結(jié)論；
（2）由AF∥BC，AF=BD可證得四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，即可證得四邊形AFBD是矩形；
（3）先根據(jù)直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半可證得BD=AD，再結(jié)合四邊形AFBD是平行四邊形可證得四邊形AFBD是菱形．
（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠CDE，
∵∠AEF=∠DEC，AE=DE，
∴△AEF≌△DEF，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）∵AF∥BC，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴四邊形AFBD是矩形；
（3）∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴BD=AD（直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半）．
∵四邊形AFBD是平行四邊形，
∴四邊形AFBD是菱形．
　　本題涉及了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質(zhì)，特殊四邊形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學的重點，貫穿于整個初中數(shù)學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.