Question

【題目】將一塊含有45°的三角板ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上，且AC與⊙O相切于點(diǎn)A（如圖1），將△ABC從點(diǎn)A開始，繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜135°），旋轉(zhuǎn)后，AC、AB分別與⊙O交于點(diǎn)E，F，連接EF（如圖2）．已知AC=8，⊙O的半徑為4．

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有以下幾個(gè)量：①弦EF的長(zhǎng)；②的長(zhǎng)；③∠AFE的度數(shù)；④點(diǎn)O到EF的距離．其中不變的量是___________________（填序號(hào)）；

（2）當(dāng)α＝________°時(shí)，BC與⊙O相切（直接寫出答案）；

（3）當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）90°；（3）16．

【解析】

試題（1）連接EO，FO，可知三角形EOF為等腰直角三角形，作OD垂直EF于D，由垂徑定理，勾股定理可得出結(jié)論；（2）因?yàn)?/span>AC=8，而⊙O的半徑為4．所以當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，△ACB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后AC恰為⊙O直徑，即旋轉(zhuǎn)角α為90度時(shí)BC與⊙O相切；（3）當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，如圖：點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，AC為⊙O直徑，利用三角形AEF是等腰直角三角形得出結(jié)果．

試題解析：（1）連接EO，FO，因?yàn)?/span>∠A=45，所以∠EOF=2∠A=90，因?yàn)?/span>EO=FO，所以三角形EOF為等腰直角三角形，作OD垂直EF于D，由垂徑定理得：OD垂直平分EF，三角形ODE和三角形ODF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，所以EF=OF，OD=OF，而半徑OF是一定的，所以弦EF的長(zhǎng)不變，點(diǎn)O到EF的距離即OD不變，故①④正確，又因?yàn)榘霃讲蛔儯瑘A心角∠EOF=90不變，所以的長(zhǎng)不變，故②正確，而∠AFE的度數(shù)等于弧AE度數(shù)的一半，A點(diǎn)不變，E是旋轉(zhuǎn)中AC與⊙O交點(diǎn)，可變，故弧AE度數(shù)可變，所以∠AFE的度數(shù)可變，故③錯(cuò)誤，所以不變的序號(hào)應(yīng)是①②④；（2）因?yàn)閳A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，而∠ACB=90當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，因?yàn)?/span>AC=8，而⊙O的半徑為4．所以△ACB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后AC恰為⊙O直徑，即旋轉(zhuǎn)角α為90度時(shí)BC與⊙O相切；（3）如右圖，

當(dāng)BC與⊙O相切時(shí)，依題意可知，△ACB旋轉(zhuǎn)90°后AC為⊙O直徑，且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，∵AC為⊙O直徑，∴∠AFE=90°．又∵∠BAC=45°，∴∠FCA=45°．∴∠BAC=∠FCA，∴AF=EF．∵AC=8，∴AF=EF=4，∴S△AEF=×（4）2=16．故△AEF的面積是16．．