Question

如圖，△ABD、△CBD都是等邊三角形，DE、BF分別是△ABD的兩條高，DE、BF交于點G．
（1）求∠BGD的度數(shù)；
（2）連接CG，①求證：BG+DG=CG；②求的值．

Answer 1

解：（1）∵△ABD是等邊三角形，E是AB中點，
∴∠ADE=∠BDE=30°，
∴∠CDG=∠CDB+∠BDE=60°+30°=90°，
同理∠CBG=90°，
∴∠BGD=360°-（60°+90°+90°）=120°；
（2）①證明：∵?CD=CB，CG=CG，
∴由勾股定理可得BG=DG，
∴△CBG≌△CDG（SSS），
∴∠DCG=∠BCG=∠BCD=30°，
∴在Rt△CGB和Rt△CGD中，BG=DG=CG，
∴BG+DG=CG；
②?設(shè)BG=x，由①得：CG=2x，
在Rt△CGB中，BC²=CG²-BG²=4x²-x²=3x²，
又∵AB=BC，
∴AB²=BC²=3x²，
則=．
分析：（1）由三角形ABD與三角形BCD都為等邊三角形，且DE與BF為兩條高，利用三線合一得到BF與DE為角平分線，得到∠BDE=∠DBF=30°，進而求出∠CDG=∠CBG=90°，在四邊形BCDG中，利用內(nèi)角和定理求出∠BGD的度數(shù)即可；
（2）①由DC=BC，CG=CG，利用勾股定理得到DG=BG，利用SSS得出三角形CDG與三角形BCG全等，確定出∠DCG=∠BCG=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得出BG=DG=GC，即可得證；②設(shè)BG=x，根據(jù)①得到CG=2x，在直角三角形CBG中，利用勾股定理表示出BC，即為AB，即可求出所求的比值．
點評：此題考查了勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．