Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝mx2﹣2mx+m+4與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）若拋物線C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）B（﹣1，0）；（3）a的取值范圍為≤a≤4．

【解析】

（1）直接把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，然后求出m的值即可得到拋物線的解析式；

（2）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，通過解方程x2+2x+3＝0可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）拋物線y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），則開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線C2與線段AB的公共點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，a最小；當(dāng)拋物線C2與線段AB的公共點(diǎn)為A點(diǎn)時(shí)，a最大，然后把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入計(jì)算出對(duì)應(yīng)的a的值，從而可確定a的取值范圍．

（1）把A（0，3）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，解得m＝﹣1，

所以拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

所以B（﹣1，0）；

（3）拋物線C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），

因?yàn)閽佄锞�C2與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則開口向上，

當(dāng)拋物線C2與線段AB的公共點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，a最小，把B（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得4a﹣1＝0，解得a＝；

當(dāng)拋物線C2與線段AB的公共點(diǎn)為A點(diǎn)時(shí)，a最大，把A（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得a﹣1＝3，解得a＝4，

所以a的取值范圍為≤a≤4．