Question

如圖①，拋物線y=

1

2

x²+x-4與x軸的兩個交點分別為A、B，與y軸的交點為C．
（1）請直接寫出點A、B、C的坐標(biāo)；
（2）如圖①，點Q是函數(shù)y=

1

2

x²+x-4的圖象在第三象限上的任一點，點Q的橫坐標(biāo)為m，設(shè)四邊形AQCB的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m這何值時，S有最大值，最大值是多少？
（3）拋物線y=

1

2

x²+x-4的對稱軸上是否存在一點H，使△BCH的周長最�。咳舸嬖�，請直接寫出H點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）如圖②，若點E為線段BC的中點，EF垂直平分BC交x軸于點F（-3，0），點P是拋物線y=

1

2

x²+x-4對稱軸上的一點，設(shè)P點的縱坐標(biāo)為t，請直接寫出∠PEC為鈍角三角形時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，可求得點C的坐標(biāo)；令y=0，可求得點A、B的坐標(biāo)．
（2）過點Q作QG⊥x軸于G，將四邊形AQCB分作△AQG、梯形GQCO、△OBC三部分，設(shè)出點Q的坐標(biāo)后，用m表達(dá)出上述三部分的面積和，即可得到關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對應(yīng)的m的值．
（3）△BCH的周長中，BC的長是定值，若△BCH的周長最短，那么BH+CH的長最短；點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么直線AC與拋物線對稱軸的交點即為符合條件的點H．
（4）此題需要考慮三種情況：①當(dāng)P為直線EF與拋物線對稱軸的交點時t的值；②當(dāng)P為過點C且與直線BC垂直的直線與拋物線對稱軸的交點時t的值；③當(dāng)P為Rt△PEC的直角頂點時t的值；結(jié)合圖形和上時三種情況來討論△PEC為鈍角三角形時t的取值范圍．

解答：解：（1）拋物線y=

1

2

x²+x-4中，
令x=0，y=-4，即 C（0，-4）；
令y=0，

1

2

x²+x-4=0，解得：x₁=2、x₂=-4，即 A（-4，0）、B（2，0）．

（2）如右圖，過點Q作QG⊥x軸于G，則 Q（m，

1

2

m²+m-4），OG=-m，AG=0A=4-（-m）=4+m，QG=-

1

2

m²-m+4；
S=S_△AQG+S_梯形GQCO+S_△OBC
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-

1

2

m²-m+4+4）×（-m）+

1

2

×2×4
=-m²-4m+12
=-（m+2）²+16，
∴當(dāng)m=-2時，S有最大值，且S_max=16．

（3）如右圖，點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，所以當(dāng)△BCH的周長最短時，點H為直線AC與拋物線對稱軸的交點；
設(shè)直線AC的解析式：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-4），有：

-4k+b=0 b=-4

，解得

k=-1 b=-4

∴直線AC：y=-x-4；
由（1）知，拋物線的對稱軸：x=-

b

2a

=-1；
∴當(dāng)x=-1時，y=1-4=-3，即當(dāng)H（-1，-3）時，△BCH的周長最�。�

（4）如右圖，分三種情況討論：
①當(dāng)點P為直線EF與拋物線對稱軸交點時；
已知點E為線段BC的中點，則E（1，-2），又由F（-3，0），可求得：
直線EF：y=-

1

2

x-

3

2

，則P₁（-1，-1），t=-1；
②當(dāng)CP⊥BC，且P為CP與拋物線對稱軸交點時；
此時，CP₂∥EF，設(shè)直線CP₂：y=-

1

2

x+b，代入C（0，-4），得：
直線CP₂：y=-

1

2

x-4，則P₂（-1，-

7

2

），t=-

7

2

；
③當(dāng)CP₃⊥EP₃時，設(shè)P₃（-1，t），則：
EP₃²=（1+1）²+（-2-t）²=t²+4t+8，CP₃²=1+（-4-t）²=t²+8t+17，EC²=5；
在Rt△EP₃C中，EP₃²+CP₃²=EC²，即：
t²+4t+8+t²+8t+17=5，
化簡，得：t²+6t+10=0，此方程無解，這種情況不成立；
綜上，當(dāng)t＞-1或t＜-

7

2

時，△ECP為鈍角三角形．

點評：此題主要考查了：圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用、軸對稱圖形的性質(zhì)與兩點間線段最短的綜合應(yīng)用、直角三角形以及鈍角三角形的特點等重要知識，涵蓋了二次函數(shù)綜合題中多類�？碱}型．最后一題中，找出△ECP是直角三角形時t的值（共三種情況）是解答題目的關(guān)鍵．