Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

求k的值和拋物線的解析式；

為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)．

若以為頂點(diǎn)的四邊形OBNP是平行四邊形時(shí)，求m的值．

連接BN，當(dāng)時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）①或②與

【解析】試題分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得k，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo)，從而可表示出PN的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：OB=PN=2，列方程解出即可；

②有兩解，N點(diǎn)在AB的上方或下方，作輔助線，構(gòu)建等腰直角三角形，由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，設(shè)GH=BH=t，則由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，根據(jù)AB=AH+BH=t+t=，可得BG和BN的解析式，分別與拋物線聯(lián)立方程組，可得結(jié)論．

試題解析：解：（1）把A（3，0）代入y=kx+2中得，0=3k+2，k=﹣，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+2，∴B（0，2），把A（3，0）和B（0，2）代入拋物線y=﹣x2+bx+c中，則，解得：，二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=﹣；

（2）①如圖1，設(shè)M（m，0），則P（m，m+2），N（m，﹣）

∴PN=yN﹣yP=（﹣）﹣（﹣m+2）=﹣+4m，由于四邊形OBNP為平行四邊形得PN=OB=2，

∴+4m=2，解得：m=或

②有兩解，N點(diǎn)在AB的上方或下方，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BN的垂線交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作BA的垂線，垂足為點(diǎn)H．

由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，∴GH=BH，設(shè)GH=BH=t，則由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，∴AG=×=，從而OG=OA﹣AG=3﹣=，即G（，0）

由B（0，2），G（，0）得：

直線BG：y=﹣5x+2，直線BN：y=0.2x+2．

則，解得：x1=0（舍），x2=，即m=；

則，解得：x1=0（舍），x2=；即m=；

故m= 與m=為所求．