Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經過點P，C是⊙O上一點，連接PC交AB于點E，且∠ACP=60°，PA=PD．

（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若 ： =1：2，求AE：EB：BD的值（請你直接寫出結果）；
（3）若點C是弧AB的中點，已知AB=4，求CE CP的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：PD與⊙O相切．理由如下：

連接OP，

∵∠ACP=60°，

∴∠AOP=120°，

而OA=OP，

∴∠PAO=∠APO=30°，

∵PA=PD，

∴∠D=∠PAD=30°，

∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，

∴∠OPD=120°﹣30°=90°，

∵OP為半徑，

∴PD是⊙O的切線；

（2）解：連BC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵ ： =1：2，

∴∠ABC=2∠BAC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，

而∠PAE=30°，

∴∠APE=∠DPE=60°，

∴AE垂直平分PC，如圖，

設BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，則BC=2BE=2x，

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，

∴AE=AB﹣BE=3x，

∵PA=PD，PE⊥AD，

∴AE=DE，

∴DB=3x﹣x=2x，

∴AE：EB：BD的值為3：1：2

（3）解：如圖，連接OC，

∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，

∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，

而∠ACE=∠PCA，

∴△ACE∽△PCA，

∴ ，即AC2=PC CE，

∵A02+OC2=AC2=8，

∴PC CE=AC2=8．

【解析】（1）連接OP，利用圓周角定理可求出∠AOP=120°，進而可得∠PAO=∠APO=30°，再利用等腰三角形的性質可求出∠D=30°，進而可得∠OPD=90°，從而得證；
（2）連BC，由AB為直徑可得∠ACB=90°，再由已知可得∠BAC=30°，∠ABC=60°，從而得出AE垂直平分PC，設BE=x，在Rt△BCE和Rt△ABC中，利用直角三角形的性質可得答案；
（3）連接OC，由圓周角定理可得∠CAB=∠APC，OC⊥AB，從而證出△ACE∽△PCA，由相似三角形的性質可得AC2=PC CE，又由勾股定理可求出AC2，進而求出答案.