Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,)．

【小題1】求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
【小題2】設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在直線CD的上方，y軸及y軸的右側(cè)的平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請直接寫出符合要求的點(diǎn)G的坐標(biāo)；
【小題3】如圖，拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)M，過點(diǎn)M作一條直線交∠ADB于T,N兩點(diǎn)，①當(dāng)∠DNT=90°時(shí)，直接寫出  的值；
②當(dāng)直線TN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，
試說明: △DNT的面積S_△DNT=;
并猜想 :的值是否是定值?說明理由.

Answer 1

【小題1】y=   ，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(1, )
【小題2】
【小題3】是定值解析:
解：拋物線與X軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與Y軸交于點(diǎn)C(0，），
故可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4) （設(shè)一般式也可）
則=a(0+2)(0-4)          ∴a=
拋物線的解析式為：y= (x+2)(x-4)，即y=
化為頂點(diǎn)式：y=       
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(1, )                                         2分
(2)            6分
（3）①                                                7分
② i．是定值
理由是:作NH⊥DT于點(diǎn)H，
又∵拋物線是軸對稱圖形,DM是對稱軸，
∴DA=DB，
∵tan∠DAB=
∴∠DAB=60°，
∴△DAB是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，
∴S_△DNT=DT·NH= DT·DN·sin60°= DT·DN             9分
ii.方法1：（面積法）
作NH⊥DT于H， MM₁⊥DT于M₁，MM₂⊥DN于M₂，
∴NH= DN·sin60°= DN,
又∵△DAB是等邊三角形，且DM⊥AB于M，
∴∠TDM=∠NDM=30°,
∴MM₁ = MM₂= DM·sin30°= DM,
∵S_△DNT= DT·DN
∵S_△DTM+ S_△DNM = DT·MM₁+ DN·MM₂
= DT·DMsin30°+ DN·DMsin30
=
∵S_△DNT=S_△DTM+ S_△DNM
∴ DT·DN=
∴DT·DN=3
∴                               12分
方法2：（相似三角形的知識(shí)）
作NN₁⊥DM于N₁，TT₁⊥DM于T₁，
又∵△DAB是等邊三角形，且DM⊥AB于M，
∴∠TDM=∠NDM=30°,
∵∠DN₁N=∠TT₁D=90°，
∴△DN₁N∽△D T₁T
∴
又∵∠TMT₁=∠NMN₁，
∵∠NN₁M=∠TT₁D=90°，
∴△NN₁M∽△TT₁M
∴
∴==
∴
∴                                    12分