Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng)，連接交

于點(diǎn)．

⑴試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有△≌△；

⑵當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△的面積是正方形面積的；

⑶若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再繼續(xù)在上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△恰為等腰三角形．

 

Answer 1

【答案】

⑴證明：在正方形中，無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有

=  ∠=∠  =  ∴△≌△

⑵△的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，

過點(diǎn)Q作⊥于,⊥于，

則 =

==            ∴= 

由△ ∽△得        解得

∴時(shí)，△的面積是正方形面積的

⑶若△是等腰三角形，則有 =或=或=

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，由四邊形是正方形知  =

此時(shí)△是等腰三角形

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)也重合，此時(shí)=, △是等腰三角形

③：如圖，

設(shè)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)到時(shí)，有=

∵ ∥       ∴∠=∠

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠   ∴ ==

∵=    =  =4   ∴

即當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形.

【解析】（1）兩邊一角 AQ=AQ ，AB=AD=4，∠DAQ=∠BAQ=45度 所以兩個(gè)三角形全等。

（2）做QE垂直于AD， △DQE相似于△DPA ，△ADQ面積=ADQE/2，正方形面積=ADAB，△ ADQ的面積是正方形面積的1/6， 則QE=AB/3=4/3，△AQE是等腰直角三角形，則AQ=QE=4/3，DQ=AD-AQ=8/3， △DQE相似△DPA中， DQ/AD=QE/AP，帶入數(shù)據(jù)得：8/3 /4= 4/3 /AP，故AP=2，因?yàn)锳B=4 則P點(diǎn)正好運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)

（3）假設(shè)△ADQ恰好為等腰三角形：:P在 ABC上運(yùn)動(dòng) 首先當(dāng)AD=QD=4時(shí) Q與C點(diǎn)剛好重合 所以P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn) △ADQ為等腰三角形；當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，AQ=QD △ADQ為等腰直角三角形；當(dāng)AD=AQ=4時(shí)，△ADQ與△CPQ相似，則PC=CQ=AC-AQ= -4，則P運(yùn)動(dòng)到距離C點(diǎn) -4時(shí)，△ADQ為等腰三角形