【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)過點(diǎn)E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),點(diǎn)C、D在拋物線上,∠BAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn),已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)F、G分別為x軸,y軸上的動(dòng)點(diǎn),順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長的最小值;
(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ODP中OD邊上的高為?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)矩形ABCD不動(dòng),將拋物線向右平移,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L,且直線KL平分矩形的面積時(shí),求拋物線平移的距離.
【答案】(1)y=x2﹣4x;(2)四邊形MNGF周長最小值為12;(3)存在點(diǎn)P,P坐標(biāo)為(6,﹣6);(4)拋物線平移的距離為3個(gè)單位長度.
【解析】
(1)由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線段OE上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上,所以A(2,0);由OA=2,且OA:AD=1:3得AD=6.由于四邊形ABCD為矩形,故有AD⊥AB,所以點(diǎn)D在第四象限,橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同,進(jìn)而得到點(diǎn)D坐標(biāo).由拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E,用待定系數(shù)法即求出其解析式;(2)畫出四邊形MNGF,由于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng),故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M',作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N',得FM=FM'、GN=GN'.易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)N'G+GF+FM'=M'N'最小,故四邊形MNGF周長最小值等于MN+M'N'.根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M'、N、N'坐標(biāo),即求得答案;(3)因?yàn)?/span>OD可求,且已知△ODP中OD邊上的高,故可求△ODP的面積.又因?yàn)椤?/span>ODP的面積常規(guī)求法是過點(diǎn)P作PQ平行y軸交直線OD于點(diǎn)Q,把△ODP拆分為△OPQ與△DPQ的和或差來計(jì)算,故存在等量關(guān)系.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t,用t表示PQ的長即可列方程.求得t的值要討論是否滿足點(diǎn)P在x軸下方的條件;(4)由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上,畫出平移后的拋物線可知,點(diǎn)K由點(diǎn)O平移得到,點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到,故有K(m,0),L(2+m,-6).易證KL平分矩形面積時(shí),KL一定經(jīng)過矩形的中心H且被H平分,求出H坐標(biāo)為(4,﹣3),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值.
(1)∵點(diǎn)A在線段OE上,E(8,0),OA=2
∴A(2,0)
∵OA:AD=1:3
∴AD=3OA=6
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D(2,﹣6)
∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)D、E
∴
解得:
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x
(2)如圖1,作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M',作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N',連接FM'、GN'、M'N'
∵y=x2﹣4x=(x﹣4)2﹣8
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=4
∵點(diǎn)C、D在拋物線上,且CD∥x軸,D(2,﹣6)
∴yC=yD=﹣6,即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x=4對(duì)稱
∴xC=4+(4﹣xD)=4+4﹣2=6,即C(6,﹣6)
∴AB=CD=4,B(6,0)
∵AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM=90°
∴∠BAM=45°
∴BM=AB=4
∴M(6,﹣4)
∵點(diǎn)M、M'關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)F在x軸上
∴M'(6,4),FM=FM'
∵N為CD中點(diǎn)
∴N(4,﹣6)
∵點(diǎn)N、N'關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)G在y軸上
∴N'(﹣4,﹣6),GN=GN'
∴C四邊形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'
∵當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí),N'G+GF+FM'=M'N'最小
∴C四邊形MNGF=MN+M'N'=
∴四邊形MNGF周長最小值為12.
(3)存在點(diǎn)P,使△ODP中OD邊上的高為.
過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線OD于點(diǎn)Q
∵D(2,﹣6)
∴OD=,直線OD解析式為y=﹣3x
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,t2﹣4t)(0<t<8),則點(diǎn)Q(t,﹣3t)
①如圖2,當(dāng)0<t<2時(shí),點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)
∴PQ=yQ﹣yP=﹣3t﹣(t2﹣4t)=﹣t2+t
∴S△ODP=S△OPQ+S△DPQ=PQxP+PQ(xD﹣xP)=PQ(xP+xD﹣xP)=PQxD=PQ=﹣t2+t
∵△ODP中OD邊上的高h=,
∴S△ODP=ODh
∴﹣t2+t=×2×
方程無解
②如圖3,當(dāng)2<t<8時(shí),點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)
∴PQ=yP﹣yQ=t2﹣4t﹣(﹣3t)=t2﹣t
∴S△ODP=S△OPQ﹣S△DPQ=PQxP﹣PQ(xP﹣xD)=PQ(xP﹣xP+xD)=PQxD=PQ=t2﹣t
∴t2﹣t=×2×
解得:t1=﹣4(舍去),t2=6
∴P(6,﹣6)
綜上所述,點(diǎn)P坐標(biāo)為(6,﹣6)滿足使△ODP中OD邊上的高為.
(4)設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位長度后與矩形ABCD有交點(diǎn)K、L
∵KL平分矩形ABCD的面積
∴K在線段AB上,L在線段CD上,如圖4
∴K(m,0),L(2+m,-6)
連接AC,交KL于點(diǎn)H
∵S△ACD=S四邊形ADLK=S矩形ABCD
∴S△AHK=S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴==1,
∴AH=CH,KH=HL,即點(diǎn)H為AC中點(diǎn),也是KL中點(diǎn)
∴H(4,﹣3)
∴
∴m=3
∴拋物線平移的距離為3個(gè)單位長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于A(﹣2,0),點(diǎn)B(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),且在直線BC的上方,當(dāng)S△MBC取得最大值時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在直線的上方,拋物線是否存在點(diǎn)M,使四邊形ABMC的面積為15?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),過點(diǎn)作的切線,與、的延長線分別交于點(diǎn)、,連接.
(1)求證:.
(2)填空:
①已知,當(dāng)_________時(shí),.
②連接、、.當(dāng)的度數(shù)為_________時(shí),四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:y=-x(x-2)(0≤x≤2)記為C1 ,它與x軸交于兩點(diǎn)O,A;將C1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到C2 , 交x軸于A1;將C2繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到C3 , 交x軸于點(diǎn)A2 . .....如此進(jìn)行下去,直至得到C2018 , 若點(diǎn)P(4035,m)在第2018段拋物線上,則m的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=4,AB=2.點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC邊上的任意一點(diǎn)(不與B、C重合),△EBF沿EF翻折,點(diǎn)B落在B'處,當(dāng)DB'的長度最小時(shí),BF的長度為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是娜娜設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.
已知:RT△ABC,
求作:AB上作點(diǎn)D,使∠BCD=∠A.
作法:如圖,以AC為直徑作圓,交AB于D,所以點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn);
根據(jù)娜娜設(shè)計(jì)的作圖過程,完成下面的證明.
證明:∵AC是直徑
∴∠ADC=90°(______)(填推理的依據(jù))
即∠ACD+∠A=90°,
∵∠ACB=90°,
即∠ACD+_______=90°,
∴∠BCD=∠A(_______)(填推理的依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D 是邊CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)(BD<BC),連接AD,點(diǎn)B 關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E,過D 作DF//AB交CE于點(diǎn)F.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)求證:AD=CF;
(3)當(dāng)∠DCE=15°時(shí),直接寫出線段AD,EF,BC之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)若CD=BF,AE=3,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】老師隨機(jī)抽查了本學(xué)期學(xué)生讀課外書冊數(shù)的情況,繪制成條形圖(圖1)和不完整的扇形圖(圖2),其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分.
(1)求條形圖中被遮蓋的數(shù),并寫出冊數(shù)的中位數(shù);
(2)在所抽查的學(xué)生中隨機(jī)選一人談讀書感想,求選中讀書超過5冊的學(xué)生的概率;
(3)隨后又補(bǔ)查了另外幾人,得知最少的讀了6冊,將其與之前的數(shù)據(jù)合并后,發(fā)現(xiàn)冊數(shù)的中位數(shù)沒改變,則最多補(bǔ)查了 人.
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