Question

如圖，⊙O的半徑為，正三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在直線AB與⊙O相切的位置關(guān)系？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）需要分兩種情況討論，①點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，②點(diǎn)A在x軸的正半軸，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意畫出圖形，①點(diǎn)A在上半圓上，②點(diǎn)A在下半圓上，
解答：（1）解：

（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0）時(shí)，可得等邊三角形的邊長(zhǎng)=2-，
由等邊三角形的性質(zhì)可得C₁D=，A₁D=，
故可得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（）；
同理：當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，0）時(shí)，點(diǎn)C₂的坐標(biāo)為（，）；
（2）連接OA，

①當(dāng)A點(diǎn)在x軸上方時(shí)，
∵直線AB與⊙O相切，
∴OA₁⊥AB，
∴∠OAB=90°，OB=2，OA₁=，
∴sin∠OBA₁=，A₁B=BC₁=1，
∴∠OBA₁=60°，
∴∠CBx=60°，
∴C1E=，BE=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（，）．
②當(dāng)A點(diǎn)在x軸下方時(shí)，
∵∠OBA=60°，
∴C點(diǎn)在x軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）
（3）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x，
故S===，
其中≤x≤，
當(dāng)x=時(shí)，S的最大值為，
當(dāng)x=時(shí)，S的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，關(guān)鍵是仔細(xì)審題，仔細(xì)、逐步解答，難度較大．