Question

【題目】如圖，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（40，0）和（0，30），動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動、動直線EF從x軸開始以每1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E，F(xiàn)，連接EP，F(xiàn)P，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．
（1）求t=15時，△PEF的面積；
（2）直線EF、點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160（平方單位）？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EF∥OA，

∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴

當(dāng)t=15時，OE=BE=15，OA=40，OB=30，

∴

∴S△PEF= EFOE= （平方單位）

（2）解：∵△BEF∽△BOA，

∴

∴

整理，得t2﹣30t+240=0

∵△=302﹣4×1×240=﹣60＜0，∴方程沒有實數(shù)根．

∴不存在使得△PEF的面積等于160（平方單位）的t值

（3）解：當(dāng)∠EPO=∠BAO時，△EOP∽△BOA

∴ ，即

解得，t=12（11分）

當(dāng)∠EPO=∠ABO時，△EOP∽△AOB

∴ ，即

解得，

∴當(dāng)t=12或 時，△EOP∽△BOA

【解析】（1）由于EF∥x軸，則S△PEF= EFOE．t=15時，OE=15，關(guān)鍵是求EF．易證△BEF∽△BOA，則 ，從而求出EF的長度，得出△PEF的面積；（2）假設(shè)存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進(jìn)行判斷，得出結(jié)論；（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，則只能點O與點O對應(yīng)，然后分兩種情況分別討論：①點P與點A對應(yīng)；②點P與點B對應(yīng)．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用求根公式和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．