【答案】
分析:(1)根據(jù)直線y=kx+3與y軸相交于點C,得C(0,3),由tan∠OBC=1可求得點B(3,0);所以a=-1,即y=-x
2+2x+3=-(x-1)
2+4,頂點D(1,4),代入一次函數(shù)可知k=1.
(2)在y軸上取一點F(0,-3),則OF=OC=3,由對稱性可知:∴∠CBF=90°,設直線BF與二次函數(shù)y=-x
2+2x+3的圖象交于點P,由(1)知B(3,0),直線BF的函數(shù)關系式為y=x-3,聯(lián)立方程組求解可得點P(-2,-5),所以存在點P(1,4)或P(-2,-5),使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形.
解答:解:(1)由直線y=kx+3與y軸相交于點C,得C(0,3)
∵tan∠OBC=1
∴∠OBC=45°∴OB=OC=3
∴點B(3,0)(1分)
∵點B(3,0)在二次函數(shù)y=ax
2+2x+3的圖象上
∴9a+6+3=0(2分)
∴a=-1(3分)
∴y=-x
2+2x+3=-(x-1)
2+4
∴頂點D(1,4)(4分)
又∵D(1,4)在直線y=kx+3上
∴4=k+3
∴k=1
即:a=-1,k=1.(5分)
(2)在二次函數(shù)y=-x
2+2x+3的圖象上存在點P,使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形(6分)
由(1)可知,直線y=x+3與x軸的交點為E(-3,0)
∴OE=OC=3
∴∠CEO=45°
∵∠OBC=45°
∴∠ECB=90°(7分)
∴∠DCB=90°
∴△DCB是以BC為一條直角邊的直角三角形,且點D(1,4)在二次函數(shù)的圖象上,則點D是所求的P點(8分)
方法一:設∠CBP=90°,點P在二次函數(shù)y=-x
2+2x+3的圖象上,則△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形,
∵∠CBO=45°
∴∠OBP=45°設直線BP與y軸交于點F,則F(0,-3)
∴直線BP的表達式為y=x-3(9分)
解方程組
得
或
由題意得,點P(-2,-5)為所求.
綜合①②,得二次函數(shù)y-x
2+2x+3的圖象上存在點P(1,4)或
P(-2,-5),使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形(10分)
方法二:在y軸上取一點F(0,-3),則OF=OC=3,由對稱性可知,
∠OBF=∠OBC=45°
∴∠CBF=90°設直線BF與二次函數(shù)y=-x
2+2x+3的圖象交于點P,由(1)知B(3,0),
∴直線BF的函數(shù)關系式為y=x-3(以下與方法一同)(9分)
解方程組
得
或
由題意得,點P(-2,-5)為所求.
綜合①②,得二次函數(shù)y-x
2+2x+3的圖象上存在點P(1,4)或
P(-2,-5),使得△PBC是以BC為一條直角邊的直角三角形.
點評:主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來,利用點的坐標的意義表示線段的長度,從而求出線段之間的關系.