【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CF。

(1)求證:四邊形ABDF是平行四邊形;

(2)若∠CAF=45°,BC=4,CF=,求AB的長。

【答案】(1)證明見解析;

(2)AB的長為

【解析】分析:(1)求出DE∥AB,AF∥BC來證明四邊形ABDF是平行四邊形.

(2)過點(diǎn)FFG⊥ACG點(diǎn),求出ACGF的長再求△CAF的面積.

本題解析:

證明:(1)在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),

∴DE∥AB, 又知AF∥BC,∴四邊形ABDF是平行四邊形。

(2)過點(diǎn)F作FG交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AH交BC于點(diǎn)H。

∵FG⊥AC,∴∠AGF=90°,∵∠CAF=45°,由(1)知,四邊形ABDF是平行四邊形,

∴AF=BD=BC=2,在RT△AFG中,∠CAF=45°,∴AG=GF=AF=。在RT△CFG中,CF=,

∴CG=,∵AF∥BC,∴∠ACB=45°,

∵AH⊥BC,在RT△ACH中,AC=AG+GC=+2=3,∴AH=HC=×3=3,

∴BH=BC-CH=4-3=1。在RT△ABH中,AB=.

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