Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm．現(xiàn)有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以1厘米/秒的速度沿AC向終點C運動；點Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點C運動．過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ．設(shè)動點運動時間為t秒（t＞0）．
（1）連接PQ，在運動過程中，不論t取何值時，總有線段PQ與線段AB平行，為什么？
（2）連接DP，當t為何值時，四邊形EQDP能成為平行四邊形？
（3）當t為何值時，△EDQ為直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）先用t表示出PC及CQ的長，再求出=，即可得出結(jié)論；
（2）先由PE∥CD，得△APE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，求出PE的長，再根據(jù)四邊形EQDP是平行四邊形，得PE=DQ，可用含t的代數(shù)式表示出DQ的長，聯(lián)立PE的表達式列方程求出t的值即可；
（3）由于∠EDQ≠90°，所以當△EDQ為直角三角形時，可分兩種情況進行討論：①∠EQP=90°；②∠QED=90°．兩種情況都可以通過證明三角形相似，列出比例關(guān)系式，從而求出t的值．
解答：解：（1）如圖1，
∵點P以1厘米/秒的速度從點A沿AC向終點C運動，點Q以1.25厘米/秒的速度從點B沿BC向終點C運動，
∴AP=t，BQ=1.25t，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴==1-，==1-，
∴=，
∴PQ∥AB；

（2）如圖2，∵PE∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴=，
∴=，
∴EP=．
∵四邊形EQDP是平行四邊形，
∴EP=QD，即=2-1.25t，
解得t=1．
故當t為1秒時，四邊形EQDP能成為平行四邊形；

（3）分兩種情況討論：
①如圖3，當∠EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC，
∴=，即=，
解得t=2.5（秒）；
②如圖4，當∠QED=90°時，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則四邊形EMCP是矩形，EM=PC=4-t．
在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD==5，
∴CN==．
∵∠EDQ=∠CDA，∠QED=∠ACD=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴=，
=，
解得t=3.1（秒）．
綜上所述，當t=2.5秒或t=3.1秒時，△EDQ為直角三角形．
點評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的及直角三角形的性質(zhì)，難度較大．